Determine a Série de Fourier da função x(t)=t, no intervalo (-\pi, \pi), considerando uma extensão impar.

Passo 1

O enunciado dá a função x(t)=t definida no intervalo (-\pi,\pi) e pede para determinar a Série de Fourier correspondente, considerando que a extensão periódica da função é ímpar.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função vale x(t)=t para -\pi<t<\pi.
  • A extensão considerada é ímpar (ou seja, a função periódica de período 2\pi obtida tem simetria ímpar: x(-t)=-x(t)).
  • Queremos a série de Fourier dessa função periódica (período 2\pi).
O que precisa ser encontrado: a expressão da série de Fourier que representa essa função periódica ímpar.

Passo 2

Vou lembrar as fórmulas padrão da série de Fourier para uma função de período 2\pi definida em (-\pi,\pi). A série tem a forma
x(t)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\cos(nt)+b_{n}\sin(nt)\right],
onde os coeficientes são dados por
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x(t)\,dt,
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x(t)\cos(nt)\,dt,\qquad n\ge1,
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x(t)\sin(nt)\,dt,\qquad n\ge1.
Explicando cada parte: a_{0} é relacionado ao termo constante médio; a_{n} são os coeficientes das cossenos (componentes pares); b_{n} são os coeficientes das senos (componentes ímpares). A notação \sim indica igualdade em sentido de série de Fourier (convergência nos pontos adequados).

Passo 3

Usando a informação de que a extensão é ímpar (isto é, a função periódica é ímpar), podemos deduzir propriedades dos coeficientes sem calcular tudo explicitamente. Razão: a paridade do integrando determina se a integral em [-\pi,\pi] é zero.
  • Uma função ímpar integrada em intervalo simétrico dá zero: \int_{-\pi}^{\pi} \text{(função ímpar)}\,dt = 0.çãí
Como x(t)=t é ímpar, temos imediatamente
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t\,dt = 0.
  • Para a_{n}: o produto x(t)\cos(nt)=t\cos(nt) é a multiplicação de uma função ímpar ( t) por uma função par ( \cos(nt)), portanto é uma função ímpar. Logo
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t\cos(nt)\,dt = 0\quad\text{para todo }n\ge1.
Conclusão prática: só restam termos em seno na série (série de senos), isto é, a série será da forma
x(t)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin(nt).

Passo 4

Agora calculamos os coeficientes b_{n}. Partimos da definição:
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t\sin(nt)\,dt.
Observe a paridade do integrando: t é ímpar e \sin(nt) também é ímpar, então o produto t\sin(nt) é par. Para funções pares a integral de -\pi a \pi dobra a integral de 0 a \pi. Assim
b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} t\sin(nt)\,dt.

Passo 5

Calculamos a integral \displaystyle \int_{0}^{\pi} t\sin(nt)\,dt por integração por partes. Vou mostrar passo a passo:
Escolhemos
u=t\quad\Rightarrow\quad du=dt,
dv=\sin(nt)\,dt\quad\Rightarrow\quad v=-\frac{\cos(nt)}{n}.
Aplicando integração por partes \int u\,dv = uv-\int v\,du, obtemos
\int_{0}^{\pi} t\sin(nt)\,dt = \left[-\frac{t\cos(nt)}{n}\right]_{0}^{\pi} + \frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nt)\,dt.
Agora avaliamos cada termo:
  • O termo no colchete: \left[-\frac{t\cos(nt)}{n}\right]_{0}^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} - 0 = -\frac{\pi(-1)^{n}}{n},pois \cos(n\pi)=(-1)^{n}.
  • A integral de cosseno: \int_{0}^{\pi}\cos(nt)\,dt = \left[\frac{\sin(nt)}{n}\right]_{0}^{\pi} = \frac{\sin(n\pi)-\sin(0)}{n} = 0.
Portanto
\int_{0}^{\pi} t\sin(nt)\,dt = -\frac{\pi(-1)^{n}}{n}.
Substituindo na expressão de b_{n}:
b_{n}=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}\right) = -\frac{2(-1)^{n}}{n}.
Podemos reescrever o sinal:
b_{n}= \frac{2(-1)^{n+1}}{n}.

Passo 6

Agora escrevemos a série de Fourier completa usando os coeficientes obtidos. Como a_{0}=0 e a_{n}=0 para todo n, e b_{n}=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}, a série é
x(t)=t \sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nt).
Uma verificação rápida com os primeiros termos dá:
t \approx 2\sin t - \sin(2t) + \frac{2}{3}\sin(3t) - \frac{1}{2}\sin(4t) + \cdots,
o que bate com o padrão dos coeficientes b_{n}.
Comentário final (didático e encorajador): essa é a série de Fourier da função t no intervalo (-\pi,\pi) quando estendida de maneira ímpar. Na prática de prova, lembrar essas duas observações te salva tempo: (1) extensão ímpar ⇒ só senos; (2) usar paridade do integrando para reduzir integrais simétricas. Você tá indo bem — isso aparece muito em provas, e agora você já tem o caminho certo para repetir rapidamente.

Resposta

x(t)=t \sim 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nt).

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