Determine a Série de Fourier da função
, no intervalo
, considerando uma extensão impar.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede para determinar a Série de Fourier correspondente, considerando que a extensão periódica da função é ímpar.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função vale
para . - A extensão considerada é ímpar (ou seja, a função periódica de período
obtida tem simetria ímpar: ). - Queremos a série de Fourier dessa função periódica (período
).
O que precisa ser encontrado: a expressão da série de Fourier que representa essa função periódica ímpar.
Passo 2
Vou lembrar as fórmulas padrão da série de Fourier para uma função de período
definida em
. A série tem a forma
onde os coeficientes são dados por
Explicando cada parte:
é relacionado ao termo constante médio;
são os coeficientes das cossenos (componentes pares);
são os coeficientes das senos (componentes ímpares). A notação
indica igualdade em sentido de série de Fourier (convergência nos pontos adequados).
Passo 3
Usando a informação de que a extensão é ímpar (isto é, a função periódica é ímpar), podemos deduzir propriedades dos coeficientes sem calcular tudo explicitamente. Razão: a paridade do integrando determina se a integral em
é zero.
- Uma função ímpar integrada em intervalo simétrico dá zero:
Como
é ímpar, temos imediatamente
- Para
: o produto é a multiplicação de uma função ímpar ( ) por uma função par ( ), portanto é uma função ímpar. Logo
Conclusão prática: só restam termos em seno na série (série de senos), isto é, a série será da forma
Passo 4
Agora calculamos os coeficientes
. Partimos da definição:
Observe a paridade do integrando:
é ímpar e
também é ímpar, então o produto
é par. Para funções pares a integral de
a
dobra a integral de
a
. Assim
Passo 5
Calculamos a integral
por integração por partes. Vou mostrar passo a passo:
Escolhemos
Aplicando integração por partes
, obtemos
Agora avaliamos cada termo:
- O termo no colchete:
pois . - A integral de cosseno:
Portanto
Substituindo na expressão de
:
Podemos reescrever o sinal:
Passo 6
Agora escrevemos a série de Fourier completa usando os coeficientes obtidos. Como
e
para todo
, e
, a série é
Uma verificação rápida com os primeiros termos dá:
o que bate com o padrão dos coeficientes
.
Comentário final (didático e encorajador): essa é a série de Fourier da função
no intervalo
quando estendida de maneira ímpar. Na prática de prova, lembrar essas duas observações te salva tempo: (1) extensão ímpar ⇒ só senos; (2) usar paridade do integrando para reduzir integrais simétricas. Você tá indo bem — isso aparece muito em provas, e agora você já tem o caminho certo para repetir rapidamente.