Encontre a FS dos seguintes sinais:
x(t)=\cos \left(\frac{\pi}{2} t\right)+\sin \left(\frac{\pi}{4} t\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a série de Fourier (FS) do sinal x(t)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)+\sin\!\left(\frac{\pi}{4}t\right).\n
Informações dadas e úteis:
x(t)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)+\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}t\right).
As frequências angulares presentes são \omega_1=\tfrac{\pi}{2} (no cosseno) e \omega_2=\tfrac{\pi}{4} (na seno). A tarefa é escrever x(t) na forma da série de Fourier periódica e determinar os coeficientes não nulos.

Passo 2

Determinar o período fundamental do sinal (passo essencial antes de escrever a FS).\n
Explico a ideia: se o sinal é soma de exponenciais/cossenos/senos com frequências angulares \omega_1,\omega_2,\dots, o período fundamental \,T_0 é dado por T_0=\dfrac{2\pi}{\omega_0}, onde \omega_0 é o maior divisor comum das \omega_i (ou, de forma prática, o menor valor positivo tal que cada \omega_i é um inteiro vezes \omega_0).\n
Aqui:
\omega_1=\tfrac{\pi}{2},\qquad \omega_2=\tfrac{\pi}{4}.
A razão \dfrac{\omega_1}{\omega_2}=\dfrac{\pi/2}{\pi/4}=2 é racional (inteiro), então as duas frequências são harmônicas de uma mesma \omega_0. O menor \omega_0 que gera ambas é
\omega_0=\tfrac{\pi}{4}.
Portanto o período fundamental é
T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{2\pi}{\pi/4}=8.

Passo 3

Escrever x(t) em forma de exponenciais complexas, que facilita a leitura direta dos coeficientes da FS.\n
Lembrando as fórmulas (pequena aula):\n
Para o cosseno,
\cos(\omega t)=\frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}.
Para o seno,
\sin(\omega t)=\frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}.
Estas identidades dizem que qualquer cosseno ou seno é soma de duas exponenciais complexas com frequências \pm\omega. Na série complexa de Fourier com frequência fundamental \omega_0 usamos a forma
x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k e^{jk\omega_0 t},
onde C_k são os coeficientes complexos. Se conseguir escrever x(t) como soma de termos A e^{j m \omega_0 t} com m inteiro, então C_m=A.\n
Agora aplicando ao nosso x(t). Observando que \omega_0=\tfrac{\pi}{4}, temos \tfrac{\pi}{2}=2\omega_0 e \tfrac{\pi}{4}=1\omega_0. Então:
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)=\cos(2\omega_0 t)=\frac{e^{j2\omega_0 t}+e^{-j2\omega_0 t}}{2},
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}t\right)=\sin(\omega_0 t)=\frac{e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t}}{2j}.
Somando,
x(t)=\frac{e^{j2\omega_0 t}+e^{-j2\omega_0 t}}{2}+\frac{e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t}}{2j}.
Agora identificamos os coeficientes C_k pela correspondência com C_k e^{jk\omega_0 t}.

Passo 4

Ler os coeficientes diretamente da expressão em exponenciais e simplificar as constantes (aqui uma pequena conta sobre números complexos):\n
Do termo do cosseno (harmônicos \pm2):
C_{2}=\frac{1}{2},\qquad C_{-2}=\frac{1}{2}.
Do termo do seno (harmônicos \pm1):
C_{1}=\frac{1}{2j},\qquad C_{-1}=-\frac{1}{2j}.
Podemos simplificar \dfrac{1}{2j}=-\dfrac{j}{2} e -\dfrac{1}{2j}=\dfrac{j}{2}. Então escrevendo de forma um pouco mais direta:
C_{1}=-\frac{j}{2},\qquad C_{-1}=+\frac{j}{2}.
Todos os demais coeficientes são zero:
C_k=0\quad\text{para }k\neq \pm1,\pm2.
Assim a série complexa de Fourier fica, explicitamente,
x(t)=C_{-2}e^{-j2\omega_0 t}+C_{-1}e^{-j\omega_0 t}+C_{1}e^{j\omega_0 t}+C_{2}e^{j2\omega_0 t},
com os C_k determinados acima.

Passo 5

Comentário didático-final (como usar isso na prova):\n
  • Primeiro identifique as frequências angulares e verifique se são múltiplos racionais para obter \omega_0 e T_0.\n
  • Escreva cada cosseno/seno como soma de exponenciais. Cada termo A e^{jm\omega_0 t} corresponde a C_m=A.\n
  • Coeficientes complexos para funções reais aparecem em pares conjugados: C_{-k}=\overline{C_k}. Aqui vemos isso: C_{2}=1/2 e C_{-2}=1/2 (reais iguais) e C_1=-j/2, C_{-1}=j/2 (complexos conjugados). Isso é um bom check de veracidade.

Resposta

Período fundamental: T_0=8 e frequência angular fundamental: \omega_0=\tfrac{\pi}{4}.\n
Coeficientes complexos da FS:
C_{1}=-\frac{j}{2},\quad C_{-1}=+\frac{j}{2},\quad C_{2}=\frac{1}{2},\quad C_{-2}=\frac{1}{2},
C_k=0\quad\text{para }k\neq \pm1,\pm2.
Série de Fourier (reconstrução):
x(t)=\frac{1}{2}e^{j2\omega_0 t}+\left(-\frac{j}{2}\right)e^{j\omega_0 t}+\left(\frac{j}{2}\right)e^{-j\omega_0 t}+\frac{1}{2}e^{-j2\omega_0 t},
com \omega_0=\tfrac{\pi}{4}.

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