Determine a série de Fourier das funções a seguir.
(h) f(x)=e^{x}, \quad-\pi \leq x \leq \pi.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=e^{x} definida em -\pi\le x\le\pi e pede: determinar a série de Fourier dessa função (assumindo a extensão periódica de período 2\pi). Informações relevantes fornecidas:
A função a ser expandida no intervalo é f(x)=e^{x} para -\pi\le x\le\pi.
A série de Fourier que se espera é a forma trigonométrica periódica de período 2\pi.
O que vamos encontrar explicitamente: os coeficientes \;a_0,\;a_n\; e \;b_n\; e, em seguida, a expressão da série
Primeiro vou lembrar e explicar as fórmulas que usamos (essas são padrões para série de Fourier em -\pi,\pi). A série trigonométrica de Fourier de uma função f em [- \pi,\pi] é
Explicando com calma: a_0 mede a “média” da função no intervalo; a_n mede quanto da frequência \cos(nx) aparece em f; b_n mede quanto da frequência \sin(nx) aparece. Essas integrais projetam f nas funções ortogonais \{1,\cos(nx),\sin(nx)\}. Vamos aplicar essas fórmulas com f(x)=e^x.
Observação sobre convergência (rápida): e^{x} é suave em [- \pi,\pi], portanto a série converge uniformemente para e^{x} em [- \pi,\pi]; nos pontos x=\pm\pi ela converge para a média dos limites laterais, isto é para \dfrac{e^{\pi}+e^{-\pi}}{2}.