Determine a série de Fourier das funções a seguir.
(h) f(x)=e^{x}, \quad-\pi \leq x \leq \pi.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{x} definida em -\pi\le x\le\pi e pede: determinar a série de Fourier dessa função (assumindo a extensão periódica de período 2\pi). Informações relevantes fornecidas:
  • A função a ser expandida no intervalo é f(x)=e^{x} para -\pi\le x\le\pi.
  • A série de Fourier que se espera é a forma trigonométrica periódica de período 2\pi.
    O que vamos encontrar explicitamente: os coeficientes \;a_0,\;a_n\; e \;b_n\; e, em seguida, a expressão da série
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).

Passo 2

Primeiro vou lembrar e explicar as fórmulas que usamos (essas são padrões para série de Fourier em -\pi,\pi). A série trigonométrica de Fourier de uma função f em [- \pi,\pi] é
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.
Explicando com calma: a_0 mede a “média” da função no intervalo; a_n mede quanto da frequência \cos(nx) aparece em f; b_n mede quanto da frequência \sin(nx) aparece. Essas integrais projetam f nas funções ortogonais \{1,\cos(nx),\sin(nx)\}. Vamos aplicar essas fórmulas com f(x)=e^x.

Passo 3

Cálculo de a_0. Usamos diretamente a definição:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{x}\,dx.
A primitiva de e^{x} é e^{x}, logo
\int_{-\pi}^{\pi}e^{x}\,dx=e^{x}\Big|_{-\pi}^{\pi}=e^{\pi}-e^{-\pi}.
Portanto
a_0=\frac{1}{\pi}\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr).
Assim o termo constante na série será \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{2\pi}\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr).

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge 1. Precisamos calcular
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{x}\cos(nx)\,dx.
Para essa integral é útil encontrar uma primitiva. Uma primitiva que funciona é
\int e^{x}\cos(nx)\,dx=\frac{e^{x}\bigl(\cos(nx)+n\sin(nx)\bigr)}{1+n^{2}} + C.
(Segurança: derivando o numerador obtém-se (1+n^{2})e^{x}\cos(nx), portanto a primitiva está correta.)
Agora avaliamos entre -\pi e \pi:
\int_{-\pi}^{\pi}e^{x}\cos(nx)\,dx =\frac{1}{1+n^{2}}\Bigl[e^{x}\bigl(\cos(nx)+n\sin(nx)\bigr)\Bigr]_{-\pi}^{\pi}.
Calculemos as expressões nos extremos. Para x=\pi tem-se \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^{n}, então
e^{\pi}\bigl(\cos(n\pi)+n\sin(n\pi)\bigr)=e^{\pi}(-1)^{n}.
Para x=-\pi também \sin(-n\pi)=0 e \cos(-n\pi)=\cos(n\pi)=(-1)^{n}, então
e^{-\pi}\bigl(\cos(-n\pi)+n\sin(-n\pi)\bigr)=e^{-\pi}(-1)^{n}.
A diferença é
\int_{-\pi}^{\pi}e^{x}\cos(nx)\,dx=\frac{(-1)^{n}\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr)}{1+n^{2}}.
Dividindo por \pi obtemos
a_n=\frac{(-1)^{n}\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr)}{\pi(1+n^{2})}.

Passo 5

Cálculo de b_n para n\ge 1. Precisamos calcular
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{x}\sin(nx)\,dx.
Uma primitiva conveniente é
\int e^{x}\sin(nx)\,dx=\frac{e^{x}\bigl(\sin(nx)-n\cos(nx)\bigr)}{1+n^{2}} + C.
(Verificação: derivando o numerador obtém-se (1+n^{2})e^{x}\sin(nx).)
Avaliando entre -\pi e \pi:
\int_{-\pi}^{\pi}e^{x}\sin(nx)\,dx =\frac{1}{1+n^{2}}\Bigl[e^{x}\bigl(\sin(nx)-n\cos(nx)\bigr)\Bigr]_{-\pi}^{\pi}.
Nos extremos: para x=\pi, \sin(n\pi)=0, \cos(n\pi)=(-1)^{n}, então
e^{\pi}\bigl(\sin(n\pi)-n\cos(n\pi)\bigr)=-n e^{\pi}(-1)^{n}.
Para x=-\pi, \sin(-n\pi)=0, \cos(-n\pi)=(-1)^{n}, então
e^{-\pi}\bigl(\sin(-n\pi)-n\cos(-n\pi)\bigr)=-n e^{-\pi}(-1)^{n}.
A diferença é
\int_{-\pi}^{\pi}e^{x}\sin(nx)\,dx =\frac{-n(-1)^{n}\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr)}{1+n^{2}}.
Dividindo por \pi vem
b_n=\frac{-n(-1)^{n}\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr)}{\pi(1+n^{2})} = \frac{(-1)^{n+1}\,n\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr)}{\pi(1+n^{2})}.

Passo 6

Juntando tudo, a série de Fourier de f(x)=e^{x} em [- \pi,\pi] é
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
com os coeficientes que calculamos. Substituindo explicitamente:
\frac{1}{2\pi}\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr) +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr)}{\pi(1+n^{2})}\cos(nx) +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\,n\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr)}{\pi(1+n^{2})}\sin(nx).
Podemos factorar o fator comum \dfrac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{\pi} para uma forma mais compacta:
e^{x}\sim \frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{2\pi} +\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{1+n^{2}}\bigl(\cos(nx)-n\sin(nx)\bigr).
Observação sobre convergência (rápida): e^{x} é suave em [- \pi,\pi], portanto a série converge uniformemente para e^{x} em [- \pi,\pi]; nos pontos x=\pm\pi ela converge para a média dos limites laterais, isto é para \dfrac{e^{\pi}+e^{-\pi}}{2}.

Resposta

e^{x}=\frac{1}{2\pi}\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr) +\sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{(-1)^{n}\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr)}{\pi(1+n^{2})}\cos(nx) +\frac{(-1)^{n+1}n\bigl(e^{\pi}-e^{-\pi}\bigr)}{\pi(1+n^{2})}\sin(nx) \right].

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