Verdadeiro ou falso? Justifique
(c) Os coeficientes de Fourier de
se calculam multiplicando os coeficientes correspondentes de
e
.
(c) Os coeficientes de Fourier de
Passo 1
O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa, e pede justificativa:
“Aos coeficientes de Fourier de
obtém-se multiplicando termo a termo os coeficientes de Fourier de
e de
.”
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
- Trabalhar com séries de Fourier (funções periódicas).
- Precisamos relacionar os coeficientes (no domínio das frequências) do produto
com os coeficientes de e de .
Passo 2
Definição e notação que vou usar (muito importante para não se perder):
- Tomo funções periódicas de período
(padrão clássico). - Defino os coeficientes complexos de Fourier de
por
- De forma análoga, os coeficientes de
são
- E os coeficientes da função
serão
Explicando cada termo:
é o peso da componente de frequência
em
;
são as funções ortogonais (os “sinos/cossenos” complexos). A integral mede a projeção de
nessa oscilação.
Passo 3
Propriedade básica de série de Fourier (ortogonalidade) que vou usar: para inteiros
Isto é a identidade de Kronecker ((\delta_{mn}]) em forma integral. É a razão pela qual as exponenciais complexas formam uma base ortonormal (até escala) no espaço das funções periódicas.]
Passo 4
Derivação do coeficiente de
. Supondo que as séries de Fourier de
e
convergem suficientemente bem (por exemplo
contínuas por partes, ou séries absolutamente convergentes), posso escrever
Então
Agora calculo o coeficiente
usando a definição:
Permuto soma e integral (válido sob hipóteses de convergência) e uso a ortogonalidade:
O parêntese é
se
, caso contrário
. Isso impõe
. Assim sobra uma só soma:
Este é um produto convólucro (convolução discreta) dos vetores de coeficientes:
.
Passo 5
Interpretação e conclusão didática (a parte que cai na prova):
- A fórmula acima diz claramente que o coeficiente
-ésimo de é a soma (sobre ) dos produtos . Em palavras: multiplicação no domínio do tempo (produto ) vira convolução no domínio das frequências (dos coeficientes). - Portanto a afirmação do enunciado — que os coeficientes de
se obtêm multiplicando termo a termo os coeficientes correspondentes de e — é falsa.
Um jeito rápido de ver isso com um contraexemplo simples (útil para a prova):
- Tome
. Sabendo identidade trigonométrica,
Logo os coeficientes de
não são obtidos multiplicando termo a termo os coeficientes de
— por exemplo o coeficiente da frequência
em
é
, enquanto multiplicando coeficientes de
(que tem coeficientes
) não se obtém esse comportamento. Aplicando a fórmula de convolução também se vê que os coeficientes aparecem deslocados (soma de índices), não multiplicação ponto a ponto.
Resposta
Falso.