Verdadeiro ou falso? Justifique
(c) Os coeficientes de Fourier de f(x) \cdot g(x) se calculam multiplicando os coeficientes correspondentes de f(x) e g(x).

Passo 1

O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa, e pede justificativa:
“Aos coeficientes de Fourier de f(x)\cdot g(x) obtém-se multiplicando termo a termo os coeficientes de Fourier de f(x) e de g(x).”
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
  • Trabalhar com séries de Fourier (funções periódicas).
  • Precisamos relacionar os coeficientes (no domínio das frequências) do produto f\cdot g com os coeficientes de f e de g.

Passo 2

Definição e notação que vou usar (muito importante para não se perder):
  • Tomo funções periódicas de período 2\pi (padrão clássico).
  • Defino os coeficientes complexos de Fourier de f por
\hat f_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,e^{-inx}\,dx,\qquad n\in\mathbb{Z}.
  • De forma análoga, os coeficientes de g são
\hat g_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(x)\,e^{-inx}\,dx.
  • E os coeficientes da função h(x)=f(x)g(x) serão
\hat h_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)\,e^{-inx}\,dx.
Explicando cada termo: \hat f_n é o peso da componente de frequência n em f; e^{inx} são as funções ortogonais (os “sinos/cossenos” complexos). A integral mede a projeção de f nessa oscilação.

Passo 3

Propriedade básica de série de Fourier (ortogonalidade) que vou usar: para inteiros m,n\), \[\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{i m x} e^{-i n x}\,dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{i(m-n)x}\,dx = \begin{cases} 1, & m=n,\\[4pt] 0, & m\neq n. \end{cases}
Isto é a identidade de Kronecker ((\delta_{mn}]) em forma integral. É a razão pela qual as exponenciais complexas formam uma base ortonormal (até escala) no espaço das funções periódicas.]

Passo 4

Derivação do coeficiente de h=f\cdot g. Supondo que as séries de Fourier de f e g convergem suficientemente bem (por exemplo f,g contínuas por partes, ou séries absolutamente convergentes), posso escrever
f(x)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\hat f_k e^{ikx},\qquad g(x)=\sum_{m\in\mathbb{Z}}\hat g_m e^{imx}.
Então
h(x)=f(x)g(x)=\left(\sum_{k}\hat f_k e^{ikx}\right)\left(\sum_{m}\hat g_m e^{imx}\right) =\sum_{k}\sum_{m}\hat f_k\hat g_m e^{i(k+m)x}.
Agora calculo o coeficiente \hat h_n usando a definição:
\hat h_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} h(x)\,e^{-inx}\,dx =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sum_{k}\sum_{m}\hat f_k\hat g_m e^{i(k+m)x}\right)e^{-inx}\,dx.
Permuto soma e integral (válido sob hipóteses de convergência) e uso a ortogonalidade:
\hat h_n=\sum_{k}\sum_{m}\hat f_k\hat g_m\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{i(k+m-n)x}\,dx\right).
O parêntese é 1 se k+m-n=0, caso contrário 0. Isso impõe m=n-k. Assim sobra uma só soma:
\hat h_n=\sum_{k\in\mathbb{Z}} \hat f_k\,\hat g_{\,n-k}.
Este é um produto convólucro (convolução discreta) dos vetores de coeficientes: \hat h=(\hat f * \hat g).

Passo 5

Interpretação e conclusão didática (a parte que cai na prova):
  • A fórmula acima diz claramente que o coeficiente n-ésimo de f\cdot g é a soma (sobre k) dos produtos \hat f_k\hat g_{n-k}. Em palavras: multiplicação no domínio do tempo (produto f\cdot g) vira convolução no domínio das frequências (dos coeficientes).
  • Portanto a afirmação do enunciado — que os coeficientes de f\cdot g se obtêm multiplicando termo a termo os coeficientes correspondentes de f e g — é falsa.
Um jeito rápido de ver isso com um contraexemplo simples (útil para a prova):
  • Tome f(x)=g(x)=\cos x. Sabendo identidade trigonométrica,
\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}.
Logo os coeficientes de \cos^2 x não são obtidos multiplicando termo a termo os coeficientes de \cos x — por exemplo o coeficiente da frequência 1 em \cos^2 x é 0, enquanto multiplicando coeficientes de \cos x (que tem coeficientes \hat f_{\pm1}=\tfrac12) não se obtém esse comportamento. Aplicando a fórmula de convolução também se vê que os coeficientes aparecem deslocados (soma de índices), não multiplicação ponto a ponto.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados