Determine a série de Fourier das funções a seguir.
(b) f(x)=3 x+1, \quad-2 \leq x \leq 2;

Passo 1

O enunciado pede: determinar a série de Fourier da função \,f(x)=3x+1 no intervalo -2\le x\le 2. Informações dadas e o que será encontrado:
  • A função é dada em -2\le x\le 2. Isso define uma expansão periódica de período T=4 (ou seja, 2L=4 com L=2).
  • O objetivo é encontrar os coeficientes da série de Fourier e escrever a série trigonométrica que representa f(x) (série de período 4).
  • Valores conhecidos extraídos do enunciado: a expressão analítica \,f(x)=3x+1 e o intervalo [-2,2].

Passo 2

Vou usar a forma padrão da série de Fourier para uma função de período 2L no intervalo [-L,L]. Para L=2 a representação é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right).
As fórmulas para os coeficientes são
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.
Aqui L=2. Explicando cada peça (curtinho e direto):
  • \,a_0/2 é o termo constante (média) da função na janela [-2,2].
  • \,a_n multiplica \cos\frac{n\pi x}{2} e mede a componente “par” da função na frequência n.
  • \,b_n multiplica \sin\frac{n\pi x}{2} e mede a componente “ímpar” da função na frequência n.
    Observação útil (paridade): integrais de funções ímpares sobre [-2,2] são zero; de pares podem ser não nulas. Isto vai simplificar muito os cálculos porque 3x é ímpar e 1 é par.

Passo 3

Calcular a_0. Usando L=2:
a_0=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}(3x+1)\,dx.
Separando integrais:
\int_{-2}^{2}3x\,dx=0\quad\text{(integral de função ímpar em intervalo simétrico)},çãíé
\int_{-2}^{2}1\,dx=4.
Logo
a_0=\frac{1}{2}\cdot 4=2.
Portanto o termo constante da série é \dfrac{a_0}{2}=1. (Boa notícia: já aparece o +1 da função original.)

Passo 4

Calcular a_n para n\ge 1. Pela fórmula,
a_n=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}(3x+1)\cos\frac{n\pi x}{2}\,dx.
Separe em duas integrais:
a_n=\frac{1}{2}\left(3\int_{-2}^{2}x\cos\frac{n\pi x}{2}\,dx+\int_{-2}^{2}\cos\frac{n\pi x}{2}\,dx\right).
  • O integrando x\cos\frac{n\pi x}{2} é função ímpar (produto de ímpar x por par \cos), logo sua integral em [-2,2] é zero.
  • A integral \int_{-2}^{2}\cos\frac{n\pi x}{2}\,dx pode ser avaliada diretamente: com k=\dfrac{n\pi}{2},
\int_{-2}^{2}\cos(kx)\,dx=\left.\frac{\sin(kx)}{k}\right|_{-2}^{2}=\frac{\sin(2k)-\sin(-2k)}{k}=\frac{2\sin(2k)}{k}.
Mas 2k=2\cdot \dfrac{n\pi}{2}=n\pi, e \sin(n\pi)=0. Portanto essa integral vale 0.
Concluímos que para todo n\ge 1,
a_n=0.

Passo 5

Calcular b_n para n\ge 1. Pela fórmula,
b_n=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}(3x+1)\sin\frac{n\pi x}{2}\,dx.
Separe termos:
b_n=\frac{1}{2}\left(3\int_{-2}^{2}x\sin\frac{n\pi x}{2}\,dx+\int_{-2}^{2}\sin\frac{n\pi x}{2}\,dx\right).
  • A integral \int_{-2}^{2}\sin\frac{n\pi x}{2}\,dx é zero porque \sin é ímpar.
  • O integrando x\sin\frac{n\pi x}{2} é par (produto de ímpar por ímpar), então sua integral não é nula em geral. Vamos calcular só ela. Defina k=\dfrac{n\pi}{2}. Então
\int_{-2}^{2}x\sin(kx)\,dx=2\int_{0}^{2}x\sin(kx)\,dx
(porque integrando uma função par podemos dobrar o integral de 0 a 2). Portanto
b_n=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\int_{0}^{2}x\sin(kx)\,dx=3\int_{0}^{2}x\sin(kx)\,dx.
Agora calcule \int_{0}^{2}x\sin(kx)\,dx por integração por partes. Tome u=x e dv=\sin(kx)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(kx)}{k}. Assim
\int_{0}^{2}x\sin(kx)\,dx=\left.-\frac{x\cos(kx)}{k}\right|_{0}^{2}+\frac{1}{k}\int_{0}^{2}\cos(kx)\,dx.
Avalie as partes:
\left.-\frac{x\cos(kx)}{k}\right|_{0}^{2}=-\frac{2\cos(2k)}{k}, \qquad \frac{1}{k}\int_{0}^{2}\cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\left.\frac{\sin(kx)}{k}\right|_{0}^{2}=\frac{\sin(2k)}{k^2}.
Logo
\int_{0}^{2}x\sin(kx)\,dx=-\frac{2\cos(2k)}{k}+\frac{\sin(2k)}{k^2}.
Mas 2k=n\pi, então \sin(2k)=\sin(n\pi)=0 e \cos(2k)=\cos(n\pi)=(-1)^n. Assim
\int_{0}^{2}x\sin(kx)\,dx=-\frac{2(-1)^n}{k}.
Portanto
b_n=3\left(-\frac{2(-1)^n}{k}\right)=-\frac{6(-1)^n}{k}.
Substituindo k=\dfrac{n\pi}{2}
b_n=-6(-1)^n\cdot\frac{2}{n\pi}=-\frac{12(-1)^n}{n\pi}=\frac{12(-1)^{n+1}}{n\pi}.

Passo 6

Juntando os resultados: \,a_0=2, \,a_n=0 para todo n\ge 1, e \,b_n=\dfrac{12(-1)^{n+1}}{n\pi}. Assim a série de Fourier da função é
f(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{12(-1)^{n+1}}{n\pi}\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right).
Essa série tem termo constante 1 (que já verificamos) e apenas termos senoidais, coerente com o fato de que a parte ímpar 3x produz só senos e a parte par 1 só contribui para a média.

Resposta

f(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{12(-1)^{n+1}}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right).

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