Aqui L=2. Explicando cada peça (curtinho e direto):
\,a_0/2 é o termo constante (média) da função na janela [-2,2].
\,a_n multiplica \cos\frac{n\pi x}{2} e mede a componente “par” da função na frequência n.
\,b_n multiplica \sin\frac{n\pi x}{2} e mede a componente “ímpar” da função na frequência n.
Observação útil (paridade): integrais de funções ímpares sobre [-2,2] são zero; de pares podem ser não nulas. Isto vai simplificar muito os cálculos porque 3x é ímpar e 1 é par.
Passo 3
Calcular a_0. Usando L=2:
a_0=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}(3x+1)\,dx.
Separando integrais:
\int_{-2}^{2}3x\,dx=0\quad\text{(integral de função ímpar em intervalo simétrico)},
\int_{-2}^{2}1\,dx=4.
Logo
a_0=\frac{1}{2}\cdot 4=2.
Portanto o termo constante da série é \dfrac{a_0}{2}=1. (Boa notícia: já aparece o +1 da função original.)
A integral \int_{-2}^{2}\sin\frac{n\pi x}{2}\,dx é zero porque \sin é ímpar.
O integrando x\sin\frac{n\pi x}{2} é par (produto de ímpar por ímpar), então sua integral não é nula em geral. Vamos calcular só ela. Defina k=\dfrac{n\pi}{2}. Então
Essa série tem termo constante 1 (que já verificamos) e apenas termos senoidais, coerente com o fato de que a parte ímpar 3x produz só senos e a parte par 1 só contribui para a média.