Determine se a série geométrica converge ou diverge; se convergir, ache sua soma.
sumn=1^infty 2^-n 3^n-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^infty2^-n3^n-1 e, se ela convergir, calcular sua soma. O conteúdo é série geométrica, para o qual precisamos identificar o termo geral na forma ar^n e usar o critério de convergência |r|<1.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral da série:
2^-n3^n-1 = 3^n3cdot 12^n = 13(32)^n
Assim a série fica
sumn=1^infty2^-n3^n-1 = 13sumn=1^infty(32)^n

Passo 3

Na série geométrica sumn=1^inftyar^n, ela converge somente se |r|<1. Aqui temos r=tfrac32, e como |tfrac32|>1, a série não satisfaz o critério de convergência.

Resposta

A série diverge.

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