Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-1+\cdots

Passo 1

O enunciado dá a série
\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-1+\cdots
As perguntas implícitas são: (1) essa série é uma série geométrica? (2) se for geométrica, ela é convergente ou divergente? (3) se for convergente, qual é a soma?
Informações dadas: os quatro primeiros termos são \;1,\;-\tfrac{1}{4},\;\tfrac{1}{2},\;-1\; (escritos na ordem mostrada). Não há mais termos explícitos além dos reticências.

Passo 2

O que é uma série geométrica (aula curtinha e prática)?
Uma sequência de termos (a_n) forma uma progressão geométrica se existe uma constante r tal que, para todo n\ge1,
\frac{a_{n+1}}{a_n}=r.
Uma série geométrica é então a soma dos termos de uma progressão geométrica, isto é,
\sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{\,n-1},
onde a_1 é o primeiro termo e r é a razão comum.
Fórmula importante (quando se aplica): se |r|<1, a série geométrica é convergente e sua soma vale
S=\frac{a_1}{1-r}.
Se |r|\ge 1, a série geométrica diverge (porque os termos não tendem a zero, ou as somas parlas não se estabilizam).

Passo 3

Testando se a série dada é geométrica: calcular as razões entre termos consecutivos conhecidos. Os termos fornecidos são, em ordem,
a_1=1,\qquad a_2=-\tfrac{1}{4},\qquad a_3=\tfrac{1}{2},\qquad a_4=-1.
Calcule as razões:
\frac{a_2}{a_1}=\frac{-\tfrac{1}{4}}{1}=-\tfrac{1}{4},
\frac{a_3}{a_2}=\frac{\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{1}{4}}=-2,
\frac{a_4}{a_3}=\frac{-1}{\tfrac{1}{2}}=-2.
Observação clara: \frac{a_2}{a_1}=-\tfrac{1}{4} enquanto \frac{a_3}{a_2}=\frac{a_4}{a_3}=-2. As razões não são todas iguais, portanto a sequência de termos NÃO tem uma razão comum constante em toda a extensão conhecida.

Passo 4

Conclusão imediata a partir do passo anterior: a sequência de termos apresentada NÃO é uma progressão geométrica (pelo menos não com a mesma razão para todos os pares consecutivos mostrados). Logo, a soma dada não é, estritamente falando, uma série geométrica no sentido padrão usado para aplicar a fórmula \;S=\dfrac{a_1}{1-r}\;.

Passo 5

Mesmo que o enunciado chame a expressão de “série geométrica”, a verificação aritmética é definitiva: os três primeiros quocientes não coincidem; portanto não podemos aplicar a teoria da série geométrica (não existe um r único que gere todos os termos mostrados). Sempre que houver dúvida sobre ser ou não geométrica, o teste elementar é comparar quocientes entre termos consecutivos, como fizemos.

Passo 6

Agora, sobre convergência: um teste necessário e simples para qualquer série \sum a_n é que seus termos a_n devem tender a zero:
\text{Se }\sum a_n \text{ converge, então } \lim_{n\to\infty} a_n=0.ã
No nosso caso, com os termos fornecidos não existe uma razão comum, e os termos listados não mostram um comportamento monótono decrescente em módulo (temos 1,\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},1,\dots em módulo os valores não tendem claramente a zero a partir dos dados). Como a sequência dos termos não é definida por uma razão constante única, não há base para afirmar a convergência pelo critério das geométricas; e, sem uma regra que defina os termos seguintes de modo consistente, não podemos calcular uma soma.

Passo 7

Síntese e resposta prática para a prova (o que anotar rapidamente):
  • Verifique a razão entre termos consecutivos. Se não for constante, a série não é geométrica.
  • No caso dado, as razões não são todas iguais ( -\tfrac{1}{4} e -2 aparecem), então a série apresentada NÃO É uma série geométrica.
  • Sendo assim, NÃO se aplica a fórmula de soma de série geométrica. Sem uma definição clara dos termos seguintes (uma razão única r), não há como concluir convergência por meio da teoria das séries geométricas nem calcular soma.

Resposta

A série apresentada não é uma série geométrica (as razões entre termos consecutivos não são constantes); portanto não se pode aplicar a fórmula de soma de série geométrica e não há como afirmar nem calcular uma soma geométrica a partir dos dados dados.

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