Exercício 1: Calcule o limite das sequências que são convergentes:
. (Limite fundamental.)
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede: calcular o limite de
quando
.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A sequência é
. - Queremos
. - O enunciado chamou isso de “Limite fundamental”, o que sugere relação com o número
.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): é comum tomar o logaritmo natural para sequências do tipo
. Vou definir
. Se eu conseguir
, como a função exponencial é contínua, então
.\n
Explicando: a exponencial é contínua em todo
, então limites dentro do expoente passam para fora da exponencial.
Explicando: a exponencial
Passo 3
Calculemos
. Usando a definição de
,
Aqui cada símbolo significa:
-
é o índice da sequência (tende a ). -
é o logaritmo natural. -
é a pequena quantidade que tende a quando .
Passo 4
Para analisar
é útil fazer a substituição
Então
quando
, e
Portanto, o comportamento de
quando
depende do limite
.
Passo 5
Provar o limite fundamental
Explicação didática e prova por desigualdades (squeeze):
Para
(em particular para
perto de
) podemos usar a representação integral do logaritmo:
Se
, para
temos
e
. Integrando essas desigualdades em
de
a
,
Dividindo por
,
Quando
ambas as extremidades tendem a
, logo por squeeze
Para
(mas
) a mesma desigualdade vale com sinais apropriados; portanto o limite quando
(pela esquerda ou pela direita) é também
. Concluímos
Passo 6
Aplicando o resultado ao nosso
: como
,
Portanto
.
Passo 7
Voltando para
: como
e a exponencial é contínua,
Interpretação rápida: a sequência
converge para
; aqui
, por isso obtemos
.