Exercício 1: Calcule o limite das sequências que são convergentes:
a_{n}=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}. (Limite fundamental.)

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n} e pede: calcular o limite de a_{n} quando n\to\infty.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A sequência é a_{n}=\left(1+\dfrac{2}{n}\right)^{n}.
  • Queremos \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}.
  • O enunciado chamou isso de “Limite fundamental”, o que sugere relação com o número e.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): é comum tomar o logaritmo natural para sequências do tipo \left(1+\dfrac{\text{const}}{n}\right)^{n}. Vou definir b_{n}=\ln(a_{n}). Se eu conseguir \lim_{n\to\infty} b_{n}=L, como a função exponencial é contínua, então \lim_{n\to\infty} a_{n}= \lim_{n\to\infty} e^{b_{n}} = e^{L}.\n
Explicando: a exponencial e^{x} é contínua em todo \mathbb{R}, então limites dentro do expoente passam para fora da exponencial.

Passo 3

Calculemos b_{n}=\ln(a_{n}). Usando a definição de a_{n},
b_{n}=\ln\!\left(\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}\right)=n\ln\!\left(1+\frac{2}{n}\right).
Aqui cada símbolo significa:
  • n é o índice da sequência (tende a \infty).
  • \ln é o logaritmo natural.
  • \dfrac{2}{n} é a pequena quantidade que tende a 0 quando n\to\infty.

Passo 4

Para analisar b_{n}=n\ln\!\left(1+\dfrac{2}{n}\right) é útil fazer a substituição
u_{n}=\frac{2}{n}.
Então u_{n}\to 0 quando n\to\infty, e
b_{n}=n\ln\!\left(1+\frac{2}{n}\right)=\frac{2}{u_{n}}\ln(1+u_{n})=2\cdot\frac{\ln(1+u_{n})}{u_{n}}.
Portanto, o comportamento de b_{n} quando n\to\infty depende do limite
\displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}.

Passo 5

Provar o limite fundamental
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Explicação didática e prova por desigualdades (squeeze):
Para u>-1 (em particular para u perto de 0) podemos usar a representação integral do logaritmo:
\ln(1+u)=\int_{0}^{u}\frac{1}{1+t}\,dt.
Se u>0, para t\in[0,u] temos \dfrac{1}{1+t}\le 1 e \dfrac{1}{1+t}\ge\dfrac{1}{1+u}. Integrando essas desigualdades em t de 0 a u,
\frac{u}{1+u}\le \ln(1+u)\le u.
Dividindo por u>0,
\frac{1}{1+u}\le \frac{\ln(1+u)}{u}\le 1.
Quando u\to 0^{+} ambas as extremidades tendem a 1, logo por squeeze
\lim_{u\to 0^{+}}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Para u<0 (mas u>-1) a mesma desigualdade vale com sinais apropriados; portanto o limite quando u\to 0 (pela esquerda ou pela direita) é também 1. Concluímos
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.

Passo 6

Aplicando o resultado ao nosso b_{n}: como u_{n}=\dfrac{2}{n}\to 0,
\lim_{n\to\infty} b_{n}= \lim_{n\to\infty} 2\cdot\frac{\ln(1+u_{n})}{u_{n}} = 2\cdot 1 = 2.
Portanto b_{n}\to 2.

Passo 7

Voltando para a_{n}: como a_{n}=e^{b_{n}} e a exponencial é contínua,
\lim_{n\to\infty} a_{n}= \lim_{n\to\infty} e^{b_{n}} = e^{\,\lim_{n\to\infty} b_{n}} = e^{2}.
Interpretação rápida: a sequência \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n} converge para e^{x}; aqui x=2, por isso obtemos e^{2}.

Resposta

e^{2}

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