\diamond Uma droga é administrada a um paciente todos os dias ao mesmo horário. Suponha que a concentração da droga seja C_{n} (medida em m g / m L ), depois da injeção no n-ésimo dia. Antes da injeção do próximo dia, apenas 30 \% da droga permanece na corrente sanguínea e a dose diária causa um aumento de 0,2 \mathrm{mg} / \mathrm{mL} na concentração.
(a) Encontre a concentração depois de três dias.
(b) Qual é a concentração após a n-ésima dose?
(c) Qual é a concentração limite?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
(a) a concentração depois de três dias;
(b) a concentração depois da n-ésima dose;
(c) a concentração limite quando n\to\infty.
Informações dadas no enunciado:
  • Após a injeção no n-ésimo dia a concentração é C_{n} (em \mathrm{mg}/\mathrm{mL}).
  • Antes da injeção do dia seguinte, apenas 30\% da droga permanece na corrente sanguínea. (Vou usar esse dado como fator de decaimento 0{,}3.)
  • Cada dose diária causa um aumento de 0{,}2\\ \mathrm{mg}/\mathrm{mL}. (Vou usar esse valor como incremento constante 0{,}2.)
  • O enunciado não dá explicitamente a concentração inicial antes da primeira injeção; assumimos que antes da primeira dose a concentração era zero, então imediatamente após a primeira injeção teremos C_{1}=0{,}2\\ \mathrm{mg}/\mathrm{mL}.
A partir daqui vou modelar a sequência \{C_n\} e calcular (a), (b) e (c).

Passo 2

Montando a relação de recorrência. Pense no procedimento dia a dia: se a concentração logo depois da injeção do dia n é C_n, então até a injeção do dia n+1 restará 30\% de C_n, isto é 0{,}3\,C_n. Ao aplicar a dose do dia n+1 a concentração aumenta em 0{,}2. Logo a relação entre C_{n+1} e C_n é
C_{n+1} = 0{,}3\,C_n + 0{,}2.
Explicação dos termos: 0{,}3\,C_n é a fração que “fica” de um dia para o outro; 0{,}2 é a contribuição da nova dose.

Passo 3

Confirmando a condição inicial. Como assumimos que antes da primeira dose a concentração era zero, imediatamente após aplicar a primeira dose temos
C_1 = 0{,}2.
Vou usar essa condição para calcular valores concretos e derivar a fórmula geral.

Passo 4

Calcular C_2 explicitamente usando a recorrência para ganhar confiança com os cálculos:
C_2 = 0{,}3\,C_1 + 0{,}2 = 0{,}3\cdot 0{,}2 + 0{,}2 = 0{,}06 + 0{,}2 = 0{,}26.
Em fração: C_1=\tfrac{1}{5} e C_2=\tfrac{13}{50}.

Passo 5

Calcular C_3 explicitamente (resposta do item (a) pedida):
C_3 = 0{,}3\,C_2 + 0{,}2 = 0{,}3\cdot 0{,}26 + 0{,}2 = 0{,}078 + 0{,}2 = 0{,}278.
Em fração exata, usando os valores fracionários:
C_3 = \frac{3}{10}\cdot\frac{13}{50} + \frac{1}{5} = \frac{39}{500} + \frac{100}{500} = \frac{139}{500}.
Portanto C_3=\tfrac{139}{500}=0{,}278\\ \mathrm{mg}/\mathrm{mL}.

Passo 6

Vamos agora derivar a fórmula geral para C_n. A recorrência é uma equação linear não homogênea do tipo
C_{n+1}=a\,C_n+b
com a=0{,}3 e b=0{,}2. Um método padrão para resolver isso é escrever a solução como soma da solução da parte homogênea e de uma solução particular.
  1. Solução da parte homogênea (quando b=0): seja H_{n+1}=a H_n. Então
H_n = a^{\,n-1}H_1.
Essa é uma progressão geométrica.
  1. Solução particular constante: procuramos uma constante C^* tal que C^*=a C^* + b. Resolvendo,
C^*(1-a)=b\quad\Rightarrow\quad C^*=\frac{b}{1-a}.
Esse C^* é o valor de equilíbrio (steady state) se o sistema se estabilizar.
A solução geral é
C_n = a^{\,n-1}C_1 + \left(\text{soma das contribuições constantes}\right).çõ
Ao “desenrolar” a recorrência (ou usar a fórmula da soma geométrica) obtemos
C_n = a^{\,n-1}C_1 + b\sum_{k=0}^{n-2} a^{\,k}.

Passo 7

Usar a soma geométrica para simplificar. A soma geométrica finita é
\sum_{k=0}^{m} a^{\,k}=\frac{1-a^{\,m+1}}{1-a}\quad\text{quando }a\neq 1.
Aplicando com m=n-2,
\sum_{k=0}^{n-2} a^{\,k} = \frac{1-a^{\,n-1}}{1-a}.
Substituindo a=0{,}3, b=0{,}2 e C_1=0{,}2 na expressão do passo anterior:
C_n = 0{,}3^{\,n-1}\cdot 0{,}2 + 0{,}2\cdot\frac{1-0{,}3^{\,n-1}}{1-0{,}3}.

Passo 8

Simplificar a fórmula para uma forma mais elegante (usar frações exatas ajuda na prova). Como 0{,}3=\tfrac{3}{10} e 0{,}2=\tfrac{1}{5} e 1-0{,}3=0{,}7=\tfrac{7}{10}, temos
C_n = \left(\frac{3}{10}\right)^{\!n-1}\frac{1}{5} + \frac{1}{5}\cdot\frac{1-\left(\frac{3}{10}\right)^{\!n-1}}{\tfrac{7}{10}}.
Multiplicando e simplificando,
C_n = \frac{2}{7} - \frac{3}{35}\left(\frac{3}{10}\right)^{\!n-1}.
Essa é uma forma fechada conveniente: uma constante \tfrac{2}{7} mais um termo geométrico que depende de n.

Passo 9

Encontrar a concentração limite (item (c)). Note que a parte dependente de n é \left(\tfrac{3}{10}\right)^{n-1}, e como \left|\tfrac{3}{10}\right|<1 temos
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{10}\right)^{n-1}=0.
Portanto, passando ao limite na expressão do passo anterior,
\lim_{n\to\infty} C_n = \frac{2}{7}\approx 0{,}285714\\ \mathrm{mg}/\mathrm{mL}.
Interpretação física: é o equilíbrio entre o decaimento (fica só 30% de um dia para o outro) e a reposição diária de 0{,}2.

Resposta

(a) C_3=\dfrac{139}{500}=0{,}278\\ \mathrm{mg}/\mathrm{mL}
(b) C_n=\dfrac{2}{7}-\dfrac{3}{35}\left(\dfrac{3}{10}\right)^{\!n-1}\\ \mathrm{mg}/\mathrm{mL}
(c) \displaystyle\lim_{n\to\infty}C_n=\dfrac{2}{7}\approx 0{,}285714\\ \mathrm{mg}/\mathrm{mL}

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