\diamond Uma droga é administrada a um paciente todos os dias ao mesmo horário. Suponha que a concentração da droga seja C_{n} (medida em m g / m L ), depois da injeção no n-ésimo dia. Antes da injeção do próximo dia, apenas 30 \% da droga permanece na corrente sanguínea e a dose diária causa um aumento de 0,2 \mathrm{mg} / \mathrm{mL} na concentração.
(a) Encontre a concentração depois de três dias.
(b) Qual é a concentração após a n-ésima dose?
(c) Qual é a concentração limite?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) a concentração depois de três dias;
(b) a concentração depois da n-ésima dose;
(c) a concentração limite quando n\to\infty.
Informações dadas no enunciado:
Após a injeção no n-ésimo dia a concentração é C_{n} (em \mathrm{mg}/\mathrm{mL}).
Antes da injeção do dia seguinte, apenas 30\% da droga permanece na corrente sanguínea. (Vou usar esse dado como fator de decaimento 0{,}3.)
Cada dose diária causa um aumento de 0{,}2\\ \mathrm{mg}/\mathrm{mL}. (Vou usar esse valor como incremento constante 0{,}2.)
O enunciado não dá explicitamente a concentração inicial antes da primeira injeção; assumimos que antes da primeira dose a concentração era zero, então imediatamente após a primeira injeção teremos C_{1}=0{,}2\\ \mathrm{mg}/\mathrm{mL}.
A partir daqui vou modelar a sequência \{C_n\} e calcular (a), (b) e (c).
Passo 2
Montando a relação de recorrência. Pense no procedimento dia a dia: se a concentração logo depois da injeção do dia n é C_n, então até a injeção do dia n+1 restará 30\% de C_n, isto é 0{,}3\,C_n. Ao aplicar a dose do dia n+1 a concentração aumenta em 0{,}2. Logo a relação entre C_{n+1} e C_n é
C_{n+1} = 0{,}3\,C_n + 0{,}2.
Explicação dos termos: 0{,}3\,C_n é a fração que “fica” de um dia para o outro; 0{,}2 é a contribuição da nova dose.
Passo 3
Confirmando a condição inicial. Como assumimos que antes da primeira dose a concentração era zero, imediatamente após aplicar a primeira dose temos
C_1 = 0{,}2.
Vou usar essa condição para calcular valores concretos e derivar a fórmula geral.
Passo 4
Calcular C_2 explicitamente usando a recorrência para ganhar confiança com os cálculos:
Simplificar a fórmula para uma forma mais elegante (usar frações exatas ajuda na prova). Como 0{,}3=\tfrac{3}{10} e 0{,}2=\tfrac{1}{5} e 1-0{,}3=0{,}7=\tfrac{7}{10}, temos
Essa é uma forma fechada conveniente: uma constante \tfrac{2}{7} mais um termo geométrico que depende de n.
Passo 9
Encontrar a concentração limite (item (c)). Note que a parte dependente de n é \left(\tfrac{3}{10}\right)^{n-1}, e como \left|\tfrac{3}{10}\right|<1 temos