Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Justifique sua resposta. Se for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{n}}{(3)^{n+1}}\

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{n}}{3^{n+1}}
identificando se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é a série geométrica, que usa o fato de que
– uma série \sum_{n=1}^\infty a\,r^{\,n-1} converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1, e nesse caso sua soma é \frac{a}{1-r},
– caso \lvert r\rvert\ge1 ela diverge.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral de modo a evidenciar a forma geométrica. Observe que
\frac{\pi^{n}}{3^{n+1}} =\frac{1}{3}\,\frac{\pi^{n}}{3^{n}} =\frac{1}{3}\biggl(\frac{\pi}{3}\biggr)^{n}.
Para colocá-la na forma usual \sum_{n=1}^\infty a\,r^{\,n-1}, note também que
\frac{\pi^{n}}{3^{n+1}} =\frac{\pi}{9}\,\biggl(\frac{\pi}{3}\biggr)^{n-1}.

Passo 3

A partir daí vemos que é uma série geométrica com
a=\frac{\pi}{9}, \quad r=\frac{\pi}{3}.

Passo 4

Aplicando o critério de convergência de séries geométricas:
– Se \lvert r\rvert<1, converge.
– Se \lvert r\rvert\ge1, diverge.
Aqui \lvert r\rvert=\dfrac{\pi}{3}>1 (pois \pi\approx3,14), logo a série dive rge.

Resposta

A série é divergente.

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