Expresse o número como uma razão de inteiros.
2, \overline{516}

Passo 1

O enunciado pede para expressar o número decimal periódico 2,\overline{516} como razão de dois inteiros. O conteúdo aqui é transformar um decimal periódico em fração, usando equações algébricas e a propriedade de repetição do período.

Passo 2

Definimos
x = 2,\overline{516}.

Passo 3

Como o período tem 3 dígitos, multiplicamos ambos os lados por 10^3 para deslocar a repetição:
1000x = 2516,\overline{516}.

Passo 4

Subtraímos a equação original da equação obtida para eliminar a parte periódica:
1000x - x = 2516,\overline{516} - 2,\overline{516}
999x = 2514.

Passo 5

Isolando x, obtemos
x = \frac{2514}{999}.
Agora simplificamos dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{2514}{999} = \frac{838}{333}.
Verifica-se que \gcd(838,333)=1, logo a fração está irredutível.

Resposta

2,\overline{516} = \frac{838}{333}.

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