(7 pontos) 1^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: Considere a série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}.
(a) Verifique que \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}.
(b) Calcule as somas parciais s_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}.
(c) Calcule \lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}.
(d) Conclua que \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} e pede quatro coisas:
  • (a) Verificar a identidade algébrica \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}.
  • (b) Calcular as somas parciais s_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}.
  • (c) Calcular \lim_{n\to\infty} s_{n}.
  • (d) Concluir o valor da série infinita \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)}.
Informações relevantes fornecidas: os termos gerais da soma são a_k=\dfrac{1}{k(k+1)} para k=1,2,\dots. A resolução seguirá mostrando cada passo da álgebra e explicando o porquê de cada manipulação.

Passo 2

Fazer a decomposição em frações simples (partial fractions) para mostrar a identidade pedida em (a).
Queremos encontrar constantes A e B tais que
\frac{1}{k(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}.
Multiplicando ambos os lados por k(k+1) (isso elimina os denominadores), obtemos
1 = A(k+1)+Bk.
Expandindo o lado direito:
1 = (A+B)k + A.
Como essa igualdade deve valer para todo k, os coeficientes de k e o termo constante devem coincidir. Assim:
A+B=0 \qquad\text{e}\qquad A=1.
Da segunda equação vem A=1. Substituindo em A+B=0 temos 1+B=0, logo B=-1.
Portanto
\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1},
que é exatamente o que se pedia em (a).

Passo 3

Calcular as somas parciais s_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} usando a identidade telescópica encontrada.
Substituindo a identidade no somatório:
s_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right).
Vamos escrever os primeiros termos para ver a estrutura de cancelamento (telescópica):
s_n=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right) +\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) +\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) +\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Observe que muitos termos internos se cancelam: -\frac{1}{2} cancela com +\frac{1}{2}, -\frac{1}{3} cancela com +\frac{1}{3}, e assim por diante. Depois do cancelamento sobram apenas o primeiro positivo e o último negativo:
s_n = \frac{1}{1} - \frac{1}{n+1}.
Portanto
s_n = 1 - \frac{1}{n+1}.

Passo 4

Calcular o limite quando n\to\infty de s_n.
Temos
s_n = 1 - \frac{1}{n+1}.
Sabemos que \dfrac{1}{n+1}\to 0 quando n\to\infty (porque os denominadores crescem sem limite, tornando a fração cada vez menor). Logo
\lim_{n\to\infty} s_n = 1 - 0 = 1.

Passo 5

Concluir o valor da série infinita.
Definição (lembrando): a soma de uma série infinita \sum_{k=1}^{\infty} a_k é o limite das somas parciais s_n=\sum_{k=1}^{n} a_k, caso esse limite exista finito. Como aqui \lim_{n\to\infty} s_n = 1, a série converge e sua soma é 1. Portanto a conclusão pedida em (d) está estabelecida.

Resposta

(a) \dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}
(b) s_{n}=1-\dfrac{1}{n+1}
(c) \displaystyle \lim_{n\to\infty} s_{n}=1
(d) \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}=1

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