Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=0^infty n^22^n;

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=0^infty n^22^n
O conteúdo principal é teste de convergência de séries numéricas, em especial o critério da razão.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = n^22^n
Pelo teste da razão, calculamos
L = limntoinftyan+1an.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)^22^,n+1n^22^n = (n+1)^22,n^2 = n^2 + 2n +12,n^2 = 1 + 2n + 1n^22
Tomando o limite quando ntoinfty,
L = limntoinftyan+1an = 12

Passo 4

Como L = tfrac12 < 1, pelo teste da razão a série
sumn=0^inftyn^22^n
converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados