Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
;
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Aqui o conteúdo é o Teste de Leibniz (alternating series test) para séries alternadas e também verificar convergência absoluta.
Passo 2
Definimos
então os termos da série são
. Primeiro checamos
Passo 3
Agora mostramos que
é eventualmente decrescente. Considere a função contínua
Sua derivada é
Logo, para
vale
.
Passo 4
Pelos itens anteriores (
e
decrescente a partir de
), a Série Alternada converge por Teste de Leibniz.
Passo 5
Para ver se converge absolutamente, analisamos
Como para
n grande
tfracnn^2+1simtfrac1n , e
sum1/n diverge (série harmônica), concluímos que
sum|(-1)^n-1an| diverge.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo Teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).