Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty (-1)^n-1 nn^2+1;

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n-1nn^2+1
Aqui o conteúdo é o Teste de Leibniz (alternating series test) para séries alternadas e também verificar convergência absoluta.

Passo 2

Definimos
an = nn^2+1,
então os termos da série são (-1)^n-1an. Primeiro checamos
limntoinftyan =limntoinftynn^2+1 =limntoinfty1n+1n =0

Passo 3

Agora mostramos que (an) é eventualmente decrescente. Considere a função contínua
f(x)=xx^2+1
Sua derivada é
f'(x) =1cdot(x^2+1)-xcdot2x(x^2+1)^2 =1-x^2(x^2+1)^2<0 para x>1
Logo, para n>=2 vale an+1<an.

Passo 4

Pelos itens anteriores ( anto0 e an decrescente a partir de n=2), a Série Alternada converge por Teste de Leibniz.

Passo 5

Para ver se converge absolutamente, analisamos
sumn=1^inftyl|(-1)^n-1anr| =sumn=1^inftynn^2+1
Como para n grande tfracnn^2+1simtfrac1n, e sum1/n diverge (série harmônica), concluímos que
sum|(-1)^n-1an| diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo Teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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