Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(\arctan n)^{n}}\

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(\arctan n)^{n}}.
O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o teste da raiz para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Seja a_{n}=(-1)^{n}/(\arctan n)^{n}. Calculamos
\lim_{n\to\infty} \bigl|a_{n}\bigr|^{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\arctan n} =\frac{1}{\pi/2} =\frac{2}{\pi}.

Passo 3

Como \tfrac{2}{\pi}<1, o teste da raiz garante que
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|a_{n}\bigr|
converge. Logo a série original converge absolutamente.

Passo 4

Convergência absoluta implica convergência da série alternada. Portanto a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(\arctan n)^{n}}
converge.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

Exercícios relacionados