Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(\arctan n)^{n}}\

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(\arctan n)^{n}}
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui são testes de convergência para séries infinitas, em particular o teste da raiz (ou crítica de Cauchy), que nos diz que se
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|}
satisfaz L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da raiz à nossa série. Denotando
a_n = \frac{(-1)^{n}}{(\arctan n)^{n}},
temos
\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} =\sqrt[n]{\frac{1}{(\arctan n)^{n}}} =\frac{1}{\arctan n}.
Agora calculamos o limite quando n\to\infty. Como \arctan n\to \tfrac{\pi}{2}, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\arctan n} =\frac{1}{\pi/2} =\frac{2}{\pi}.
Como \tfrac{2}{\pi}<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente.

Passo 3

Uma série que converge absolutamente converge também (simplesmente) como série numérica. Portanto, nossa série converge.

Resposta

A série converge absolutamente e, consequentemente, converge.

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