Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. Use qualquer teste que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá a série alternada .
Vamos testar se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge, usando o teste de convergência absoluta e o teste do termo geral.
Passo 2
Para verificar convergência absoluta, consideramos
Como
limntoinftyn^2+12n^2+1=tfrac12neq0,
pelo teste do termo geral essa série de termos positivos diverge. Logo, a série original não converge absolutamente.
Passo 3
Para verificar convergência condicional, aplicamos o teste do termo geral à série alternada. Note que
limntoinfty(-1)^n+1n^2+12n^2+1
não existe como número finito, pois o módulo do termo tende a tfrac12neq0. Em particular, o termo geral não tende a zero, condição necessária para qualquer convergência de série. Portanto, a série diverge.