Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. Use qualquer teste que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 n^2+12 n^2+1

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n+1n^2+12n^2+1.
Vamos testar se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge, usando o teste de convergência absoluta e o teste do termo geral.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos
sumn=1^infty|;(-1)^n+1n^2+12n^2+1| =sumn=1^inftyn^2+12n^2+1
Como
limntoinftyn^2+12n^2+1=tfrac12neq0,
pelo teste do termo geral essa série de termos positivos diverge. Logo, a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Para verificar convergência condicional, aplicamos o teste do termo geral à série alternada. Note que
limntoinfty(-1)^n+1n^2+12n^2+1
não existe como número finito, pois o módulo do termo tende a tfrac12neq0. Em particular, o termo geral não tende a zero, condição necessária para qualquer convergência de série. Portanto, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados