Pode-se demonstrar que as desigualdades 1-x^26<x sin x2-2 cos x<1 valem para todos os valores de x próximos de zero. O que isso diz a voce a respeito do seguinte limite
lim x 0 x sin x2-2 cos x ?
Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
L = limxto 0xsin x2-2cos x
sabendo que, para x próximo de zero, valem as desigualdades
1 - x^26 ;<;xsin x2-2cos x;<;1
O conteúdo aqui é limite de função trigonométrica e vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).

Passo 2

Observamos as funções que fazem o “sanduíche”:
f(x) = 1 - x^26, g(x) = xsin x2-2cos x, h(x) = 1,
e temos
f(x) < g(x) < h(x)
para todo x suficientemente próximo de zero.

Passo 3

Calculamos o limite de cada função-borda quando xto 0:
limxto 0f(x) = limxto 0l(1 - x^26r) = 1,
limxto 0h(x) = limxto 01 = 1

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, se
limxto 0f(x) =limxto 0h(x) =1 e f(x)<= g(x)<= h(x),
segue que
limxto 0g(x)=1

Resposta

limxto 0xsin x2-2cos x = 1

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