Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. Use qualquer teste que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^inftycos(npi)n^3
em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O tema é testes de convergência de séries infinitas, em especial o teste da convergência absoluta e o teste da série p.

Passo 2

Observamos que
cos(npi)=(-1)^n,
logo a série fica
sumn=1^infty(-1)^nn^3

Passo 3

Para verificar a convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftygl|(-1)^nn^3gr| =sumn=1^infty1n^3
Esta é uma série p com p=3>1, portanto ela converge (teste da série p).

Passo 4

Como a série dos valores absolutos converge, a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência.

Resposta

A série
sumn=1^inftycos(npi)n^3
é absolutamente convergente.

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