Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, justificando sua resposta:
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n+1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\biggl(\frac{n+1}{n}\biggr).
O conteúdo principal aqui é reconhecer que o termo geral pode ser reescrito como diferença de logaritmos e que a soma parcial telescopa.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral usando a propriedade \ln(a/b)=\ln a-\ln b:
\ln\!\biggl(\frac{n+1}{n}\biggr) =\ln(n+1)-\ln(n).
Assim cada termo da série é a diferença entre dois logaritmos consecutivos.

Passo 3

Chamando de S_{N} a soma parcial até n=N, temos
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\bigl[\ln(n+1)-\ln(n)\bigr].
Ao desenvolver essa soma, quase todos os termos se cancelam (telescoping):
S_{N}=\bigl[\ln2-\ln1\bigr]+\bigl[\ln3-\ln2\bigr]+\cdots+\bigl[\ln(N+1)-\ln N\bigr] =\ln(N+1)-\ln(1)=\ln(N+1).
Como
\lim_{N\to\infty}S_{N} =\lim_{N\to\infty}\ln(N+1) =+\infty,
a soma parcial diverge para o infinito.

Resposta

A série diverge.

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