Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, justificando sua resposta:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2+3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2+3^{n}},
que é uma série de termos positivos. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o teste da comparação direta (ou, alternativamente, o teste da razão) para decidir convergência.

Passo 2

Observe que, para todo n\ge1, temos
0 < \frac{1}{2+3^{n}} < \frac{1}{3^{n}}.
A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}
é uma série geométrica de razão r=\tfrac{1}{3}<1, portanto ela converge.

Passo 3

Pelo teste da comparação direta, como cada termo \frac{1}{2+3^{n}} é menor que o termo correspondente de uma série geométrica convergente, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2+3^{n}}
também converge.

Resposta

A série é convergente.

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