Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, justificando sua resposta:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos ^{2}(n)+n^{2}}{n^{4}}

Passo 1

O enunciado nos pede para analisar a convergência da série numérica
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^{2}(n) + n^{2}}{n^{4}}.
O conteúdo usado aqui é análise de séries e os testes principais serão a p-série e o teste da comparação. A estratégia será separar a soma em duas parcelas mais simples.

Passo 2

Observamos que
\frac{\cos^{2}(n) + n^{2}}{n^{4}} = \frac{\cos^{2}(n)}{n^{4}} + \frac{n^{2}}{n^{4}} = \frac{\cos^{2}(n)}{n^{4}} + \frac{1}{n^{2}}.
Logo, a série original se escreve como a soma de duas séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^{2}(n)}{n^{4}} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}.

Passo 3

A série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
é uma p-série com p=2. Como p>1, essa p-série converge.

Passo 4

Para
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^{2}(n)}{n^{4}},
notamos que \,0 \le \cos^{2}(n)\le 1. Portanto,
0 \le \frac{\cos^{2}(n)}{n^{4}} \le \frac{1}{n^{4}}.
Como a p-série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}
converge (pois p=4>1), pelo teste da comparação a série
\sum \frac{\cos^{2}(n)}{n^{4}} também converge.

Passo 5

Como cada parcela da decomposição converge, pela propriedade de soma de séries convergentes a série original
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^{2}(n) + n^{2}}{n^{4}}
converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^{2}(n) + n^{2}}{n^{4}} é convergente.

Exercícios relacionados