Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes, justificando sua resposta:
Passo 1
O enunciado nos pede para analisar a convergência da série numérica
.
O conteúdo usado aqui é análise de séries e os testes principais serão a p-série e o teste da comparação. A estratégia será separar a soma em duas parcelas mais simples.
O conteúdo usado aqui é análise de séries e os testes principais serão a p-série e o teste da comparação. A estratégia será separar a soma em duas parcelas mais simples.
Passo 2
Observamos que
Logo, a série original se escreve como a soma de duas séries:
Passo 3
A série
é uma p-série com
. Como
, essa p-série converge.
Passo 4
Para
notamos que
. Portanto,
Como a p-série
converge (pois
), pelo teste da comparação a série
também converge.
Passo 5
Como cada parcela da decomposição converge, pela propriedade de soma de séries convergentes a série original
converge.
Resposta
A série
é convergente.