Determine se as séries abaixo sāo convergentes ou divergentes. Justifique
sumn=1^infty(-1)^n 3^1n

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa determinar se a série é convergente ou divergente. Nosso foco aqui são as séries infinitas e os testes de convergência que podemos aplicar para chegar a uma conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é o termo geral da série. No caso, o termo geral é .

Passo 3

Para verificar se a série converge ou diverge, podemos usar o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral). Esse teste é simples: se o limite do termo geral quando tende ao infinito não for zero, a série diverge.

Passo 4

Vamos calcular o limite de limn to infty (-1)^n 3^1n quando limn to infty 3^1n = e^0 = 1 vai para o infinito:
limn to infty (-1)^n 3^1n = limn to infty (-1)^n times 1 = limn to infty (-1)^n
Observamos que . Quando tende a infinito, tende a zero, então:
Portanto:

Passo 5

O limite não existe porque a sequência oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar em nenhum valor específico. Como o limite não existe e, consequentemente, não é zero, o Teste da Divergência nos diz que a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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