Determine se as séries abaixo sāo convergentes ou divergentes. Justifique
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa determinar se a série
é convergente ou divergente. Nosso foco aqui são as séries infinitas e os testes de convergência que podemos aplicar para chegar a uma conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é o termo geral da série. No caso, o termo geral é
.
Passo 3
Para verificar se a série converge ou diverge, podemos usar o Teste da Divergência (ou Teste do Termo Geral). Esse teste é simples: se o limite do termo geral
quando
tende ao infinito não for zero, a série diverge.
Passo 4
Vamos calcular o limite de
quando
vai para o infinito:
Observamos que
. Quando
tende a infinito,
tende a zero, então:
Portanto:
Passo 5
O limite
não existe porque a sequência oscila entre -1 e 1 sem se estabilizar em nenhum valor específico. Como o limite não existe e, consequentemente, não é zero, o Teste da Divergência nos diz que a série diverge.
Resposta
A série
é divergente.