Determine se as séries convergem.
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-5)^{n+1}}{(\ln n)^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-5)^{n+1}}{(\ln n)^{n}}.
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas. Vamos usar o teste da raiz para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Observação de domínio: o termo geral envolve \ln n, que é indefinido em n=0 e nulo em n=1. Logo, a série só faz sentido a partir de n=2. Como descartar um número finito de termos não altera a convergência, estudamos
\sum_{n=2}^{+\infty}a_n, \quad a_n = \frac{(-5)^{n+1}}{(\ln n)^n}.

Passo 3

Aplicamos o teste da raiz, que exige calcular
L = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}.
Note que
\lvert a_n\rvert = \frac{5^{n+1}}{(\ln n)^n} =5\cdot\frac{5^n}{(\ln n)^n}
e portanto
\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} =\sqrt[n]{5}\;\frac{5}{\ln n} =5^{1+\tfrac1n}\,\frac{1}{\ln n}.

Passo 4

Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}5^{1+\tfrac1n}=5 e \ln n\to+\infty, temos
L=\lim_{n\to\infty}5^{1+\tfrac1n}\,\frac{1}{\ln n} =\frac{5}{+\infty} =0.
No teste da raiz, L<1 implica convergência absoluta da série.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge).

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