Determine se as séries geométricas abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre a soma da série.
sumn=1^+infty 4(15)^n-1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série geométrica
sumn=1^+infty4(15)^n-1
ou seja, identificar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular sua soma. Vamos usar a teoria de séries geométricas, que diz que uma série sumn=1^inftya,r^n-1 converge se |r|<1 e sua soma é S=a1-r.

Passo 2

Identificamos o primeiro termo a e a razão r da série. Aqui, quando n=1 temos
a = 4(15)^0 = 4
e a razão é
r = 15

Passo 3

Verificamos a condição de convergência para séries geométricas: como
|r| = |tfrac15| = tfrac15 < 1,
a série converge.

Passo 4

Como a série converge, aplicamos a fórmula da soma:
S = a1 - r = 41 - tfrac15 = 4tfrac45 = 5

Resposta

A série converge e sua soma é 5.

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