Nos Exercicios de 21 a 30, prove que a seqüência dada é convergente, usando o Teorema 12.2.6.
k^1 / n, k>1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência an = k^1/n com k>1 converge, usando o Teorema 12.2.6 (sequência monótona e limitada ⇒ convergente). Vamos verificar monotonicidade e existência de cota.

Passo 2

Para a monotonicidade, note que para ninN vale n < n+1 e, portanto, 1/(n+1)<1/n. Como a função xmapsto k^x é crescente em R quando k>1, concluímos que
k^1/(n+1) < k^1/n,
ou seja, an+1. Logo a sequência é decrescente.

Passo 3

Para a limitação, observe que para todo n temos 1/n>0, então
k^1/n > k^0 = 1
Isso mostra que k^1/n é limitada inferiormente por 1.

Passo 4

Pelo Teorema 12.2.6, como k^1/n é monótona decrescente e limitada inferiormente, ela converge.

Passo 5

Para encontrar o limite, aplicamos o logaritmo natural termo a termo:
ln an = 1nln k to 0 (ntoinfty)
Então
limntoinftyan = e^0 = 1

Resposta

A sequência k^1/n convergente tem limite igual a 1.

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