Nos Exercicios de 21 a 30, prove que a seqüência dada é convergente, usando o Teorema 12.2.6.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
com
converge, usando o Teorema 12.2.6 (sequência monótona e limitada ⇒ convergente). Vamos verificar monotonicidade e existência de cota.
Passo 2
Para a monotonicidade, note que para
vale
e, portanto,
. Como a função
é crescente em
quando
, concluímos que
ou seja,
. Logo a sequência é decrescente.
Passo 3
Para a limitação, observe que para todo
temos
, então
Isso mostra que
é limitada inferiormente por 1.
Passo 4
Pelo Teorema 12.2.6, como
é monótona decrescente e limitada inferiormente, ela converge.
Passo 5
Para encontrar o limite, aplicamos o logaritmo natural termo a termo:
Então
Resposta
A sequência
convergente tem limite igual a 1.