Determine se as séries indicadas são Absolutamente Convergentes, Condicionalmente Convergentes ou Divergentes, justificando: \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen} \frac{n \pi}{2}
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \sin\frac{n\pi}{2}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste do termo geral (condição necessária para convergência) e, em seguida, analisar a convergência absoluta.
Passo 2
Estudamos o termo geral
a_n = \sin\frac{n\pi}{2}.
Como n varia pelos inteiros, esse termo é periódico de período 4. De fato, para n=4k+1,4k+2,4k+3,4k+4 temos:
Para que a série \sum a_n convirja, é necessário que a_n\to0 quando n\to\infty. Aqui a_n não tem limite único (oscila entre 1, 0 e -1); em particular não tende a zero. Pelo teste do termo geral a série não pode convergir, ou seja, diverge.
Passo 4
Se quiséssemos verificar convergência absoluta, olharíamos
\sum_{n=1}^\infty \bigl|\sin\frac{n\pi}{2}\bigr|
cujo termo geral é 1,0,1,0,\dots. Essa soma de “uns” acontece infinitamente e diverge. Logo a série não é absolutamente convergente tampouco condicionalmente convergente (já que o próprio teste do termo geral impediu a convergência).