Determine se as séries indicadas são Absolutamente Convergentes, Condicionalmente Convergentes ou Divergentes, justificando:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-4)^n}{n^2}
e decidir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos lembrar:
  • “absolutamente convergente” significa que \sum|a_n| converge;
  • “condicionalmente convergente” significa que \sum a_n converge mas \sum|a_n| diverge;
  • “divergente” significa que \sum a_n não converge.

Passo 2

Teste de convergência absoluta. Consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-4)^n}{n^2}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^n}{n^2}.
Aplicando o teste da razão a b_n=\tfrac{4^n}{n^2}:
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{4^{n+1}/(n+1)^2}{4^n/n^2} =4\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} =4>1.
Como a razão é maior que 1, a série \sum b_n diverge. Logo, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Teste de convergência da série original. Um requisito básico para \sum a_n convergir é que a_n\to0. Aqui
a_n = \frac{(-4)^n}{n^2},
e em módulo \bigl|a_n\bigr| = 4^n/n^2. Como 4^n cresce muito mais rápido que n^2, temos
\lim_{n\to\infty}\bigl|a_n\bigr| = +\infty
e, consequentemente, \lim_{n\to\infty}a_n não é zero. Pelo teste do termo geral, a série \sum a_n diverge imediatamente.

Resposta

A série é divergente.

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