Determine se as séries indicadas são Absolutamente Convergentes, Condicionalmente Convergentes ou Divergentes, justificando:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \ln n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln n}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste da integral (ou comparação) para avaliar a convergência absoluta e o teste de Leibniz para avaliar a convergência condicional de uma série alternante.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta, isto é, estudamos a série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty} \left|\frac{(-1)^n}{n \ln n}\right| = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}.
Aplicando o teste da integral, consideramos
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \ln x}\,dx = \lim_{t\to\infty} \int_{2}^{t} \frac{1}{x \ln x}\,dx = \lim_{t\to\infty} \bigl[\ln(\ln x)\bigr]_{2}^{t} = +\infty.
Como a integral diverge, a série \sum 1/(n\ln n) também diverge. Logo, não há convergência absoluta.

Passo 3

Para a convergência condicional, aplicamos o teste de Leibniz à série alternante
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln n}.
Definimos b_n = 1/(n \ln n). Observamos que para n grande:
  1. b_n>0.
  2. b_n é decrescente (pois f(x)=1/(x\ln x) decresce para x>e).
  3. \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n = 0.
    Pelo teste de Leibniz, a série alternante converge. Como não converge absolutamente, sua convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

Exercícios relacionados