Determine se as séries indicadas são Absolutamente Convergentes, Condicionalmente Convergentes ou Divergentes, justificando: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \ln n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln n}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste da integral (ou comparação) para avaliar a convergência absoluta e o teste de Leibniz para avaliar a convergência condicional de uma série alternante.
Passo 2
Analisamos a convergência absoluta, isto é, estudamos a série de termos positivos
Como a integral diverge, a série \sum 1/(n\ln n) também diverge. Logo, não há convergência absoluta.
Passo 3
Para a convergência condicional, aplicamos o teste de Leibniz à série alternante
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln n}.
Definimos b_n = 1/(n \ln n). Observamos que para n grande:
b_n>0.
b_n é decrescente (pois f(x)=1/(x\ln x) decresce para x>e).
\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n = 0.
Pelo teste de Leibniz, a série alternante converge. Como não converge absolutamente, sua convergência é condicional.