Determine se as séries indicadas são Absolutamente Convergentes, Condicionalmente Convergentes ou Divergentes, justificando:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\left(n^{2}+1\right)}{n^{3}+2}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{n^{2}+1}{n^{3}+2}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo principal será (1) teste de comparação para verificar convergência absoluta e (2) critério de Leibniz (séries alternantes) para checar convergência condicional.

Passo 2

Para estudar a convergência absoluta, consideramos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\;(-1)^{n}\,\frac{n^{2}+1}{n^{3}+2}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+1}{n^{3}+2}.
Para n grande,
\frac{n^{2}+1}{n^{3}+2}\sim\frac{n^{2}}{n^{3}}=\frac{1}{n},
e sabemos que \sum1/n (série harmônica) diverge.
Logo, por comparação assintótica,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+1}{n^{3}+2}
diverge, de modo que a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Agora testamos a convergência da série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_{n},
onde a_{n}=(n^{2}+1)/(n^{3}+2). Pelo critério de Leibniz, bastam duas condições:
  1. \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{n^{3}+2} =\lim_{n\to\infty}\frac{1 + 1/n^{2}}{n + 2/n^{2}} =0.
  1. A sequência (a_{n}) é eventualmente monótona decrescente.
    Defina f(x)=(x^{2}+1)/(x^{3}+2).
f'(x) =\frac{2x(x^{3}+2)-3x^{2}(x^{2}+1)}{(x^{3}+2)^{2}} =\frac{-x^{4}-3x^{2}+4x}{(x^{3}+2)^{2}}.
Para x\ge2, o numerador -x^{4}-3x^{2}+4x é negativo, logo f'(x)<0.
Assim, a_{n} é decrescente para n\ge2.
Portanto, a série alternante converge por critério de Leibniz, mas não converge absolutamente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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