Determine se as séries indicadas são Absolutamente Convergentes, Condicionalmente Convergentes ou Divergentes, justificando:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n!}{(2 n-1)!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n!}{(2n-1)!}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para a série de valores absolutos e a definição de convergência absoluta (se a série dos módulos converge, então a série original converge absolutamente).

Passo 2

Considere a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty}a_n \quad\text{com}\quad a_n = \frac{n!}{(2n-1)!}.
Aplicamos o teste da razão:
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty} \frac{\displaystyle\frac{(n+1)!}{(2(n+1)-1)!}} {\displaystyle\frac{n!}{(2n-1)!}} =\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{n!}\,\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!} =\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{(2n)(2n+1)}.
Para grandes n vale
\frac{n+1}{(2n)(2n+1)}\sim\frac{n}{4n^2}=\frac1{4n}\to0.
Portanto L=0<1, o que garante que \sum a_n converge.

Passo 3

Como a série dos módulos \sum a_n converge, concluímos que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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