Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\frac{\operatorname{sinh} z}{z}

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin da função
f(z)=\frac{\operatorname{sinh} z}{z}.
O conteúdo aqui é séries de potências (Maclaurin) e vamos usar a expansão conhecida de \operatorname{sinh} z.

Passo 2

Lembramos que a série de Maclaurin de \operatorname{sinh} z é
\operatorname{sinh} z \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Para obter f(z)=\operatorname{sinh} z / z, dividimos termo a termo por z:
\frac{\operatorname{sinh} z}{z} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!\,z} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n+1)!}.

Resposta

\frac{\operatorname{sinh} z}{z} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{(2n+1)!} =1+\frac{z^{2}}{3!}+\frac{z^{4}}{5!}+\frac{z^{6}}{7!}+\cdots.

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