Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\frac{e^{1 / z}}{z^{2}}, D:|z|>0

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(z)=\frac{e^{1/z}}{z^{2}},
isto é, a expansão em potências de z ao redor de 0. Como f não é analítica em 0, teremos na verdade uma série de Laurent válida para 0<|z|<\infty. Para isso, vamos usar a expansão conhecida de e^{w} e fazer w=1/z.

Passo 2

A série de Taylor de e^{w} em w=0 é
e^{w}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!}.
Fazendo w=\frac{1}{z}, obtemos
e^{1/z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,\frac{1}{z^{n}}.

Passo 3

Agora basta dividir termo a termo por z^{2}:
f(z)=\frac{e^{1/z}}{z^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,\frac{1}{z^{n+2}} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,z^{-(n+2)}.

Resposta

f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,z^{-(n+2)},
válida para 0<|z|<\infty.

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