Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\frac{1}{1-z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(z)=\frac{1}{1 - z^{2}}.
O conteúdo usado aqui é a série geométrica, pois sabemos que para \lvert u\rvert<1
\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty}u^{n}.

Passo 2

Identificamos em f(z) o padrão da série geométrica tomando
u = z^{2}.
Então
f(z)=\frac{1}{1 - z^{2}} = \frac{1}{1 - u}.

Passo 3

Aplicando a expansão geométrica em u, obtemos
\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty}u^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}(z^{2})^{n}.

Passo 4

Simplificando (z^{2})^{n}=z^{2n}, concluímos que
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}z^{2n},
e a condição de convergência é \lvert u\rvert<1, ou seja, \lvert z^{2}\rvert<1 \leftrightarrow \lvert z\rvert<1.

Resposta

\frac{1}{1 - z^{2}} = \sum_{n=0}^{\infty}z^{2n},\quad \lvert z\rvert<1.

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