Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\frac{1}{z(z-1)}, D: 0<|z|<1

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Maclaurin da função
f(z)=\frac{1}{z(z-1)}
em torno de z=0. Como f tem polo em z=0, na prática obtemos uma expansão de Laurent válida para 0<|z|<1. Vamos usar frações parciais e depois a série geométrica.

Passo 2

Decompondo em frações parciais:
\frac{1}{z(z-1)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z-1}.
Igualando numeradores:
1 = A(z-1)+Bz
para todo z. Daí vem
A+B=0,\quad -A=1
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A=-1,\quad B=1.

Passo 3

Substituindo A e B em f(z),
f(z)=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z-1}.
Reescrevemos
\frac{1}{z-1}=-\frac{1}{1-z}=-\sum_{n=0}^{\infty}z^n,
válido para |z|<1 pela série geométrica.

Passo 4

Portanto a expansão de Laurent de f(z) em 0<|z|<1 é
f(z)=-\frac{1}{z}-\sum_{n=0}^{\infty}z^n =-\frac{1}{z}-1-z-z^2-\cdots.

Resposta

f(z)=-\frac{1}{z}-\sum_{n=0}^{\infty}z^n,\quad 0<|z|<1.

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