Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\frac{1}{z(z-1)}, D:|z|>1

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências centrada em 0 (série de Maclaurin) da função
f(z)=\frac{1}{z(z-1)}
válida no domínio D:\lvert z\rvert>1.
O conteúdo necessário é a série geométrica
\displaystyle\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^{\infty}w^n para \lvert w\rvert<1, aplicada a w=1/z.

Passo 2

Reescrevemos f(z) de forma a destacar um fator geométrico em 1/z:
\frac{1}{z(z-1)} =\frac{1}{z\bigl(-1\bigl(1-\tfrac{1}{z}\bigr)\bigr)} =-\frac{1}{z}\,\frac{1}{1-\tfrac{1}{z}}.

Passo 3

Como \lvert z\rvert>1 implica \bigl\lvert\tfrac{1}{z}\bigr\rvert<1, usamos a série geométrica:
\frac{1}{1-\tfrac{1}{z}} =\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{z}\Bigr)^{n}.
Multiplicando por -1/z obtemos
f(z) =-\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^{n}} =-\sum_{n=0}^{\infty}z^{-\,n-1}.

Passo 4

Reindexando com k=n+1, fica
f(z)=-\sum_{k=1}^{\infty}z^{-\,k} =-\bigl(z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}+\cdots\bigr).

Resposta

\boxed{f(z)=-\sum_{k=1}^{\infty}z^{-\,k},\quad\lvert z\rvert>1.}

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