Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\frac{1}{z\left(z^{2}+1\right)}, D: 0<|z|<1

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin (no sentido de série em potências de z, admitindo termos negativos) da função
f(z)=\frac{1}{z\bigl(z^2+1\bigr)}
válida em 0<|z|<1. Para resolver, vamos usar a expansão em série geométrica de \frac{1}{1+z^2} e depois multiplicar por \frac{1}{z}.

Passo 2

Escrevemos
f(z)=\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1+z^2}.
Aqui vemos a parte \frac{1}{1+z^2} como uma série geométrica em -z^2.

Passo 3

Para |z|<1, a expansão geométrica é
\frac{1}{1+z^2} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,z^{2n}.

Passo 4

Agora multiplicamos termo a termo por \frac{1}{z}:
f(z) =\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,z^{2n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,z^{2n-1}.

Passo 5

Escrevendo os primeiros termos, temos
f(z)=z^{-1}-z+z^3-z^5+\cdots,
ou de forma compacta
\boxed{f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,z^{2n-1},\quad 0<|z|<1.}

Resposta

f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,z^{2n-1},\quad 0<|z|<1.

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