Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\operatorname{cosech} z=\frac{1}{\operatorname{sinh} z}

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin da função
f(z)=\cosech z=\frac1{\operatorname{sinh} z}.
Isso é, queremos expandir f(z) em série de potências em torno de z=0. Para isso, vamos usar a série de Taylor de \operatorname{sinh} z e então obter o recíproco como série.

Passo 2

Começamos pela expansão de \operatorname{sinh} z. Sabemos que
\operatorname{sinh} z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = z + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} + \frac{z^7}{7!} + \cdots.
É conveniente escrever
\operatorname{sinh} z = z\Bigl(1 + \frac{z^2}{6} + \frac{z^4}{120} + \frac{z^6}{5040} + \cdots\Bigr).

Passo 3

Definimos
S(z)=1 + A_2 z^2 + A_4 z^4 + A_6 z^6 + \cdots,
onde A_2=\tfrac16, A_4=\tfrac1{120}, A_6=\tfrac1{5040}, etc., de modo que \operatorname{sinh} z = z\,S(z). Então
\cosech z = \frac1{\operatorname{sinh} z} = \frac1{z}\,\frac1{S(z)}.
Basta agora expandir \tfrac1{S(z)} em série de potências pares e depois dividir por z.

Passo 4

Procuramos
\frac1{S(z)} = 1 + b_2 z^2 + b_4 z^4 + b_6 z^6 + \cdots
tal que S(z)\cdot\bigl(1 + b_2 z^2 + b_4 z^4 + b_6 z^6 + \cdots\bigr)=1.
Equacionando coeficientes:
  • Ordem z^0: 1\cdot1=1.
  • Ordem z^2: A_2 + b_2=0 \Rightarrow b_2=-A_2=-\tfrac16.
  • Ordem z^4: A_4 + A_2 b_2 + b_4=0 \Rightarrow b_4= -\bigl(A_4 + A_2 b_2\bigr) = -\Bigl(\tfrac1{120} + \tfrac16\bigl(-\tfrac16\bigr)\Bigr) = \frac7{360}.
  • Ordem z^6: A_6 + A_4 b_2 + A_2 b_4 + b_6=0 \Rightarrow b_6= -\bigl(A_6 + A_4 b_2 + A_2 b_4\bigr) = -\Bigl(\tfrac1{5040} + \tfrac1{120}\bigl(-\tfrac16\bigr) + \tfrac16\cdot\tfrac7{360}\Bigr) = -\frac{31}{15120}.
Assim
\frac1{S(z)} = 1 - \frac{z^2}{6} + \frac{7\,z^4}{360} - \frac{31\,z^6}{15120} + \cdots.

Passo 5

Finalmente
\cosech z = \frac1z\;\frac1{S(z)} = \frac1z \Bigl(1 - \frac{z^2}{6} + \frac{7\,z^4}{360} - \frac{31\,z^6}{15120} + \cdots\Bigr).
Distribuindo 1/z, obtemos a série de Maclaurin:

Resposta

\cosech z = \frac1z \;-\;\frac{z}{6}\;+\;\frac{7\,z^3}{360}\;-\;\frac{31\,z^5}{15120}\;+\;\cdots.

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