Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\frac{1-\cos z}{z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(z)=\frac{1-\cos z}{z^{2}}.
O conteúdo necessário é a expansão em série de potências de \cos z em torno de 0 (Maclaurin) e a manipulação algébrica para dividir por z^2.

Passo 2

Começamos lembrando a série de Maclaurin de \cos z:
\cos z = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{z^{2n}}{(2n)!}.

Passo 3

Subtraindo de 1, obtemos
1 - \cos z = 1 - \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{z^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{z^{2n}}{(2n)!},
pois o termo n=0 é 1 e some.

Passo 4

Agora dividimos por z^2:
\frac{1-\cos z}{z^2} = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{z^{2n-2}}{(2n)!}.
Fazendo a mudança de índice m=n-1, isto é, n=m+1, temos
\frac{1-\cos z}{z^2} = \sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\,\frac{z^{2m}}{(2m+2)!}.

Passo 5

Para visualizar os coeficientes, escrevemos os primeiros termos:
\frac{1-\cos z}{z^2} = \frac{1}{2!} - \frac{z^{2}}{4!} + \frac{z^{4}}{6!} - \frac{z^{6}}{8!} + \cdots.

Resposta

\frac{1-\cos z}{z^{2}} = \sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\,\frac{z^{2m}}{(2m+2)!} = \frac{1}{2!} - \frac{z^{2}}{4!} + \frac{z^{4}}{6!} - \frac{z^{6}}{8!} + \cdots.

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