Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
a)
ponto
.
a)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral é
para
. A pergunta é única: determinar a convergência da série.
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar (teste necessário): se a série
converge, então o termo geral
converge para zero, isto é,
Explicação didática curta: se a soma parcial
tem limite finito quando
, então a diferença entre somas consecutivas
deve tender a zero. Logo, se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir. Este resultado é uma condição necessária, não suficiente (ou seja: termos tendendo a zero não garantem convergência).
Passo 3
Vamos calcular o limite do termo geral. Dividindo numerador e denominador por
(para
) obtemos:
Agora calculamos o limite:
Passo 4
Interpretação do resultado: o limite do termo geral é
Pelo teste necessário (Passo 2), se o termo geral não tende a zero então a série não pode convergir.
Passo 5
Conclusão reforçada com intuição: como os termos para
grande ficam aproximadamente
, as somas parciais crescem aproximadamente como
quando
aumenta, portanto não há convergência (as somas divergem para
).
Resposta
A série diverge.