Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
a) (1 ponto ) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2 n+1}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2n+1}
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral é \dfrac{n}{2n+1} para n=0,1,2,\dots. A pergunta é única: determinar a convergência da série.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar (teste necessário): se a série
\sum_{n=0}^{\infty} a_n
converge, então o termo geral a_n converge para zero, isto é,
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicação didática curta: se a soma parcial S_N=\sum_{n=0}^N a_n tem limite finito quando N\to\infty, então a diferença entre somas consecutivas S_N-S_{N-1}=a_N deve tender a zero. Logo, se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir. Este resultado é uma condição necessária, não suficiente (ou seja: termos tendendo a zero não garantem convergência).

Passo 3

Vamos calcular o limite do termo geral. Dividindo numerador e denominador por n (para n\ge1) obtemos:
\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2+\tfrac{1}{n}}.
Agora calculamos o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2+\tfrac{1}{n}}=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Interpretação do resultado: o limite do termo geral é
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}\neq 0.
Pelo teste necessário (Passo 2), se o termo geral não tende a zero então a série não pode convergir.

Passo 5

Conclusão reforçada com intuição: como os termos para n grande ficam aproximadamente \tfrac{1}{2}, as somas parciais crescem aproximadamente como \tfrac{1}{2}N quando N aumenta, portanto não há convergência (as somas divergem para +\infty).

Resposta

A série diverge.

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