Questão 1. (1 ponto) Considere a sequência de termos positivos definida recursivamente por x_{1}=1 e x_{n+1}=2+\frac{5}{2+x_{n}} para cada n \geq 1. Assumindo que \left(x_{n}\right) converge, calcule o seu limite.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece:
  • x_{1}=1.
  • A recorrência \;x_{n+1}=2+\dfrac{5}{2+x_{n}}\; para todo n\ge 1.
  • A hipótese: a sequência \left(x_n\right) converge (ou seja, existe \lim_{n\to\infty} x_n).
O que é pedido:
  • Calcular o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n supondo que ele existe.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando uma sequência \left(x_n\right) definida por x_{n+1}=f(x_n) converge para um limite L, e f é uma função contínua no ponto limite, então ao passar para o limite obtemos a equação de ponto fixo
L=f(L).
Aqui a função é f(x)=2+\dfrac{5}{2+x}. Antes de usar isso, confirmamos que não há problema de denominação: como x_1=1> -2 e a fórmula soma 2+ algo positivo, todos os termos serão maiores que -2 (na verdade serão positivos, como a gente verá), logo f é bem definida e contínua na região onde a sequência vive. Assim podemos aplicar a ideia: o limite L satisfaz
L = 2+\dfrac{5}{2+L}.

Passo 3

Resolver a equação de ponto fixo passo a passo. Partimos de
L = 2+\dfrac{5}{2+L}.
Para eliminar a fração multiplicamos ambos os lados por 2+L. Antes de multiplicar é bom notar que 2+L\neq 0 porque, como vamos justificar em seguida, os termos são positivos, então 2+L>0; portanto a multiplicação é válida sem mudar o conjunto solução. Multiplicando:
L(2+L) = (2+L)\cdot 2 + 5.

Passo 4

Desenvolver e simplificar a igualdade obtida. Calculando cada lado:
L(2+L)=2L+L^{2},
(2+L)\cdot 2 +5 = 4+2L+5 = 9+2L.
Assim a igualdade fica
2L+L^{2} = 9+2L.
Agora subtraímos 2L dos dois lados (isso elimina o termo linear):
L^{2} = 9.

Passo 5

Resolver L^{2}=9. As soluções reais são
L = 3 \quad\text{ou}\quad L = -3.

Passo 6

Escolher a solução correta usando informações adicionais sobre a sequência. Mostro que todos os termos são positivos e na verdade maiores que 2 a partir de n=2:
  • Base: x_{1}=1>0.
  • Passo indutivo: suponha x_{n}>0. Então 2+x_{n}>2 e \dfrac{5}{2+x_{n}}>0, logo x_{n+1}=2+\dfrac{5}{2+x_{n}}>2.Portanto x_{n+1}>0. Assim por indução todos os x_n são positivos e, a partir de n=2, são maiores que 2.
Como a sequência tem termos positivos, o limite (se existir) também deve ser não negativo. Portanto a solução L=-3 é impossível neste contexto. Resta
L=3.

Resposta

3

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