Questão 1. (1 ponto) Considere a sequência de termos positivos definida recursivamente por
e
para cada
. Assumindo que
converge, calcule o seu limite.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece:
-
. - A recorrência
para todo . - A hipótese: a sequência
converge (ou seja, existe ).
O que é pedido:
- Calcular o limite
supondo que ele existe.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando uma sequência
definida por
converge para um limite
, e
é uma função contínua no ponto limite, então ao passar para o limite obtemos a equação de ponto fixo
Aqui a função é
. Antes de usar isso, confirmamos que não há problema de denominação: como
e a fórmula soma
algo positivo, todos os termos serão maiores que
(na verdade serão positivos, como a gente verá), logo
é bem definida e contínua na região onde a sequência vive. Assim podemos aplicar a ideia: o limite
satisfaz
Passo 3
Resolver a equação de ponto fixo passo a passo. Partimos de
Para eliminar a fração multiplicamos ambos os lados por
. Antes de multiplicar é bom notar que
porque, como vamos justificar em seguida, os termos são positivos, então
; portanto a multiplicação é válida sem mudar o conjunto solução. Multiplicando:
Passo 4
Desenvolver e simplificar a igualdade obtida. Calculando cada lado:
Assim a igualdade fica
Agora subtraímos
dos dois lados (isso elimina o termo linear):
Passo 5
Resolver
. As soluções reais são
Passo 6
Escolher a solução correta usando informações adicionais sobre a sequência. Mostro que todos os termos são positivos e na verdade maiores que
a partir de
:
- Base:
. - Passo indutivo: suponha
. Então e , logo Portanto . Assim por indução todos os são positivos e, a partir de , são maiores que .
Como a sequência tem termos positivos, o limite (se existir) também deve ser não negativo. Portanto a solução
é impossível neste contexto. Resta