Determine todas as possíveis bases B para cada um dos sistemas abaixo. Em seguida, para cada base B encontrada, identifique as variáveis básicas x_{B}, a matriz não básica N, as váriaveis não básicas x_{N} correspondentes e escreva a solução geral e solução básica do sistema.
\left\{\begin{array}{r}2 x_{1}-4 x_{2}+3 x_{3} \leq 7 \\\ x_{1}+2 x_{2}-x_{3} \leq 4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de desigualdades
\begin{cases} 2x_{1}-4x_{2}+3x_{3}\le 7,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}-x_{3}\le 4. \end{cases}
Vou transformar em forma padrão adicionando variáveis de folga (slack) \,s_{1},s_{2}\ge 0\)\, de modo que as desigualdades virem igualdades: \[\begin{cases} 2x_{1}-4x_{2}+3x_{3}+s_{1}=7,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}-x_{3}+s_{2}=4. \end{cases}
As variáveis que aparecem agora são \,x_{1},x_{2},x_{3},s_{1},s_{2}\,\]. Vou ordenar as colunas na mesma ordem \((x_{1},x_{2},x_{3},s_{1},s_{2}). A matriz dos coeficientes (colunas) é então:
c_{1}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad c_{2}=\begin{pmatrix}-4\\[2pt]2\end{pmatrix},\quad c_{3}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]-1\end{pmatrix},\quad c_{4}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad c_{5}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix},
e o lado direito é o vetor
\mathbf{b}=\begin{pmatrix}7\\[2pt]4\end{pmatrix}.
O problema pede: determinar todas as possíveis bases B (i.e. pares de variáveis básicas, porque a matriz tem m=2 equações), e para cada base identificar x_{B}, a matriz não-básica N, as variáveis não-básicas x_{N}, e escrever a solução geral e a solução básica (obtida ao anular x_{N}).]

Passo 2

Rápida aula-prática sobre o que vamos usar (sem pânico, é só organizadinho):
  • Definição de base para este sistema: uma base B é um conjunto de m=2 colunas dentre \{c_{1},\dots,c_{5}\} tal que a matriz B (formada por essas 2 colunas) é invertível. As variáveis correspondentes a essas colunas são as variáveis básicas x_{B}. As restantes (3 variáveis) são as não-básicas x_{N} e formam a matriz N (2×3).
  • Fórmula da solução geral em notação matricial: escrevendo o sistema como
B x_{B} + N x_{N} = \mathbf{b},
temos
x_{B} = B^{-1}\mathbf{b} - B^{-1}N\,x_{N}.
A solução básica correspondente àquela base é obtida definindo todas as variáveis não-básicas como zero:
\text{(solução básica)}\quad x_{B}=B^{-1}\mathbf{b},\qquad x_{N}=0.çãá
  • Inverso de uma matriz 2\times2: se B=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} e \det(B)=ad-bc\neq0, então
B^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\\\ -c&a\end{pmatrix}.
Vou aplicar isso repetidamente (é só uma conta de 2×2).
Agora vou enumerar todas as escolhas de 2 colunas (há \binom{5}{2}=10 escolhas) e, para cada uma, calcular B^{-1}, B^{-1}\mathbf{b}, B^{-1}N, escrever a solução geral e a solução básica. Em cada caso vou indicar claramente quais são x_{B} e x_{N}.

Passo 3

As colunas:
B=\begin{pmatrix}2&-4\\[2pt]1&2\end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix}3&1&0\\[2pt]-1&0&1\end{pmatrix}
(as colunas de N são c_{3},c_{4},c_{5}, correspondendo a x_{3},s_{1},s_{2}).
Determinante \det(B)=2\cdot2-(-4)\cdot1=8. Assim
B^{-1}=\frac{1}{8}\begin{pmatrix}2&4\\[2pt]-1&2\end{pmatrix}.
Calcule B^{-1}\mathbf{b}:
B^{-1}\mathbf{b}=\frac{1}{8}\begin{pmatrix}2&4\\[2pt]-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7\\[2pt]4\end{pmatrix} =\frac{1}{8}\begin{pmatrix}30\\[2pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}15/4\\[2pt]1/8\end{pmatrix}.
Calcule B^{-1}N coluna a coluna (mostro o resultado final):
B^{-1}N=\begin{pmatrix}1/4 & 1/4 & 1/2\\[2pt]-5/8 & -1/8 & 1/4\end{pmatrix},
onde as colunas correspondem a x_{3},s_{1},s_{2} respectivamente.
Portanto a solução geral (variáveis não-básicas x_{N}=(x_{3},s_{1},s_{2})^{\!\top}) é
\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}15/4\\[2pt]1/8\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1/4 & 1/4 & 1/2\\[2pt]-5/8 & -1/8 & 1/4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{3}\\[2pt]s_{1}\\[2pt]s_{2}\end{pmatrix},
e a solução básica (definindo x_{3}=s_{1}=s_{2}=0) é
x_{1}=15/4,\qquad x_{2}=1/8,\qquad x_{3}=s_{1}=s_{2}=0.]

Passo 4

Aqui
B=\begin{pmatrix}2&3\\[2pt]1&-1\end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix}-4&1&0\\[2pt]2&0&1\end{pmatrix}
(as colunas de N são c_{2},c_{4},c_{5} correspondendo a x_{2},s_{1},s_{2}).
\det(B)=-5, e
B^{-1}=\frac{1}{-5}\begin{pmatrix}-1&-3\\[2pt]-1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/5&3/5\\[2pt]1/5&-2/5\end{pmatrix}.
Então
B^{-1}\mathbf{b}=\begin{pmatrix}19/5\\[2pt]-1/5\end{pmatrix}, \qquad B^{-1}N=\begin{pmatrix}2/5 & 1/5 & 3/5\\[2pt]-8/5 & 1/5 & -2/5\end{pmatrix},
onde as colunas de B^{-1}N correspondem a x_{2},s_{1},s_{2}.
Solução geral:
\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}19/5\\[2pt]-1/5\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2/5 & 1/5 & 3/5\\[2pt]-8/5 & 1/5 & -2/5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{2}\\[2pt]s_{1}\\[2pt]s_{2}\end{pmatrix}.
Solução básica ( x_{2}=s_{1}=s_{2}=0):
x_{1}=19/5,\quad x_{3}=-1/5,\quad x_{2}=s_{1}=s_{2}=0.]

Passo 5

B=\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix}-4&3&0\\[2pt]2&-1&1\end{pmatrix}
(com colunas de N correspondendo a x_{2},x_{3},s_{2}).
\det(B)=-1. Aplicando a fórmula:
B^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&-2\end{pmatrix}.
B^{-1}\mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\[2pt]-1\end{pmatrix},\qquad B^{-1}N=\begin{pmatrix}2 & -1 & 1\\[2pt]-8 & 5 & -2\end{pmatrix}.
Solução geral (com x_{N}=(x_{2},x_{3},s_{2})):
\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]s_{1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\[2pt]-1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2 & -1 & 1\\[2pt]-8 & 5 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{2}\\[2pt]x_{3}\\[2pt]s_{2}\end{pmatrix}.
Solução básica ( x_{2}=x_{3}=s_{2}=0):
x_{1}=4,\quad s_{1}=-1,\quad x_{2}=x_{3}=s_{2}=0.]

Passo 6

B=\begin{pmatrix}2&0\\[2pt]1&1\end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix}-4&3&1\\[2pt]2&-1&0\end{pmatrix}
(colunas de N correspondem a x_{2},x_{3},s_{1}).
\det(B)=2, e
B^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]-1&2\end{pmatrix}.
B^{-1}\mathbf{b}=\begin{pmatrix}7/2\\[2pt]1/2\end{pmatrix},\qquad B^{-1}N=\begin{pmatrix}-2 & 3/2 & 1/2\\[2pt]4 & -5/2 & -1/2\end{pmatrix},
colunas na ordem x_{2},x_{3},s_{1}.
Solução geral:
\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]s_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7/2\\[2pt]1/2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-2 & 3/2 & 1/2\\[2pt]4 & -5/2 & -1/2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{2}\\[2pt]x_{3}\\[2pt]s_{1}\end{pmatrix}.
Solução básica ( x_{2}=x_{3}=s_{1}=0):
x_{1}=7/2,\quad s_{2}=1/2,\quad x_{2}=x_{3}=s_{1}=0.]

Passo 7

B=\begin{pmatrix}-4&3\\[2pt]2&-1\end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix}2&1&0\\[2pt]1&0&1\end{pmatrix}
(colunas de N correspondem a x_{1},s_{1},s_{2}).
\det(B)=-2. Então
B^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1&-3\\[2pt]-2&-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/2&3/2\\[2pt]1&2\end{pmatrix}.
B^{-1}\mathbf{b}=\begin{pmatrix}19/2\\[2pt]15\end{pmatrix},\qquad B^{-1}N=\begin{pmatrix}5/2 & 1/2 & 3/2\\[2pt]4 & 1 & 2\end{pmatrix},
colunas na ordem x_{1},s_{1},s_{2}.
Solução geral:
\begin{pmatrix}x_{2}\\[2pt]x_{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}19/2\\[2pt]15\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}5/2 & 1/2 & 3/2\\[2pt]4 & 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]s_{1}\\[2pt]s_{2}\end{pmatrix}.
Solução básica ( x_{1}=s_{1}=s_{2}=0):
x_{2}=19/2,\quad x_{3}=15,\quad x_{1}=s_{1}=s_{2}=0.]

Passo 8

B=\begin{pmatrix}-4&1\\[2pt]2&0\end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix}2&3&0\\[2pt]1&-1&1\end{pmatrix}
(colunas de N correspondem a x_{1},x_{3},s_{2}).
\det(B)=-2, e
B^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}0&-1\\[2pt]-2&-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&1/2\\[2pt]1&2\end{pmatrix}.
B^{-1}\mathbf{b}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]15\end{pmatrix},\qquad B^{-1}N=\begin{pmatrix}1/2 & -1/2 & 1/2\\[2pt]4 & 1 & 2\end{pmatrix},
colunas na ordem x_{1},x_{3},s_{2}.
Solução geral:
\begin{pmatrix}x_{2}\\[2pt]s_{1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[2pt]15\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}1/2 & -1/2 & 1/2\\[2pt]4 & 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{3}\\[2pt]s_{2}\end{pmatrix}.
Solução básica ( x_{1}=x_{3}=s_{2}=0):
x_{2}=2,\quad s_{1}=15,\quad x_{1}=x_{3}=s_{2}=0.]

Passo 9

B=\begin{pmatrix}-4&0\\[2pt]2&1\end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix}2&3&1\\[2pt]1&-1&0\end{pmatrix}
(colunas de N correspondem a x_{1},x_{3},s_{1}).
\det(B)=-4, e
B^{-1}=\frac{1}{-4}\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]-2&-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1/4&0\\[2pt]1/2&1\end{pmatrix}.
B^{-1}\mathbf{b}=\begin{pmatrix}-7/4\\[2pt]15/2\end{pmatrix},\qquad B^{-1}N=\begin{pmatrix}-1/2 & -3/4 & -1/4\\[2pt]2 & 1/2 & 1/2\end{pmatrix},
colunas na ordem x_{1},x_{3},s_{1}.
Solução geral:
\begin{pmatrix}x_{2}\\[2pt]s_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-7/4\\[2pt]15/2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-1/2 & -3/4 & -1/4\\[2pt]2 & 1/2 & 1/2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{3}\\[2pt]s_{1}\end{pmatrix}.
Solução básica ( x_{1}=x_{3}=s_{1}=0):
x_{2}=-7/4,\quad s_{2}=15/2,\quad x_{1}=x_{3}=s_{1}=0.]

Passo 10

B=\begin{pmatrix}3&1\\[2pt]-1&0\end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix}2&-4&0\\[2pt]1&2&1\end{pmatrix}
(colunas de N correspondem a x_{1},x_{2},s_{2}).
\det(B)=1, e
B^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1\\[2pt]1&3\end{pmatrix}.
B^{-1}\mathbf{b}=\begin{pmatrix}-4\\[2pt]19\end{pmatrix},\qquad B^{-1}N=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -1\\[2pt]5 & 2 & 3\end{pmatrix},
colunas na ordem x_{1},x_{2},s_{2}.
Solução geral:
\begin{pmatrix}x_{3}\\[2pt]s_{1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4\\[2pt]19\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-1 & -2 & -1\\[2pt]5 & 2 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\\[2pt]s_{2}\end{pmatrix}.
Solução básica ( x_{1}=x_{2}=s_{2}=0):
x_{3}=-4,\quad s_{1}=19,\quad x_{1}=x_{2}=s_{2}=0.]

Passo 11

B=\begin{pmatrix}3&0\\[2pt]-1&1\end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix}2&-4&1\\[2pt]1&2&0\end{pmatrix}
(colunas de N correspondem a x_{1},x_{2},s_{1}).
\det(B)=3, e
B^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]1&3\end{pmatrix}.
B^{-1}\mathbf{b}=\begin{pmatrix}7/3\\[2pt]19/3\end{pmatrix},\qquad B^{-1}N=\begin{pmatrix}2/3 & -4/3 & 1/3\\[2pt]5/3 & 2/3 & 1/3\end{pmatrix},
colunas na ordem x_{1},x_{2},s_{1}.
Solução geral:
\begin{pmatrix}x_{3}\\[2pt]s_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7/3\\[2pt]19/3\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2/3 & -4/3 & 1/3\\[2pt]5/3 & 2/3 & 1/3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\\[2pt]s_{1}\end{pmatrix}.
Solução básica ( x_{1}=x_{2}=s_{1}=0):
x_{3}=7/3,\quad s_{2}=19/3,\quad x_{1}=x_{2}=s_{1}=0.]

Passo 12

Aqui B é a identidade:
B=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix},\qquad N=\begin{pmatrix}2&-4&3\\[2pt]1&2&-1\end{pmatrix}
(colunas de N correspondem a x_{1},x_{2},x_{3}).
\det(B)=1 e B^{-1}=I. Então
B^{-1}\mathbf{b}=\begin{pmatrix}7\\[2pt]4\end{pmatrix},\qquad B^{-1}N=N.
Solução geral:
\begin{pmatrix}s_{1}\\[2pt]s_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7\\[2pt]4\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2 & -4 & 3\\[2pt]1 & 2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\\[2pt]x_{3}\end{pmatrix}.
Solução básica ( x_{1}=x_{2}=x_{3}=0):
s_{1}=7,\quad s_{2}=4,\quad x_{1}=x_{2}=x_{3}=0.]

Resposta

B=\{1,2\}:\\ x_{B}=(x_{1},x_{2})^{\!\top}=(15/4,\,1/8)^{\!\top}.\n
B=\{1,3\}:\\ x_{B}=(x_{1},x_{3})^{\!\top}=(19/5,\,-1/5)^{\!\top}.\n
B=\{1,4\}:\\ x_{B}=(x_{1},s_{1})^{\!\top}=(4,\,-1)^{\!\top}.\n
B=\{1,5\}:\\ x_{B}=(x_{1},s_{2})^{\!\top}=(7/2,\,1/2)^{\!\top}.\n
B=\{2,3\}:\\ x_{B}=(x_{2},x_{3})^{\!\top}=(19/2,\,15)^{\!\top}.\n
B=\{2,4\}:\\ x_{B}=(x_{2},s_{1})^{\!\top}=(2,\,15)^{\!\top}.\n
B=\{2,5\}:\\ x_{B}=(x_{2},s_{2})^{\!\top}=(-7/4,\,15/2)^{\!\top}.\n
B=\{3,4\}:\\ x_{B}=(x_{3},s_{1})^{\!\top}=(-4,\,19)^{\!\top}.\n
B=\{3,5\}:\\ x_{B}=(x_{3},s_{2})^{\!\top}=(7/3,\,19/3)^{\!\top}.\n
B=\{4,5\}:\\ x_{B}=(s_{1},s_{2})^{\!\top}=(7,\,4)^{\!\top}.

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