Determine todas as possíveis bases B para cada um dos sistemas abaixo. Em seguida, para cada base B encontrada, identifique as variáveis básicas x_{B}, a matriz não básica N, as váriaveis não básicas x_{N} correspondentes e escreva a solução geral e solução básica do sistema. \left\{\begin{array}{r}2 x_{1}-4 x_{2}+3 x_{3} \leq 7 \\\ x_{1}+2 x_{2}-x_{3} \leq 4\end{array}\right.
Vou transformar em forma padrão adicionando variáveis de folga (slack) \,s_{1},s_{2}\ge 0\)\, de modo que as desigualdades virem igualdades:
\[\begin{cases} 2x_{1}-4x_{2}+3x_{3}+s_{1}=7,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}-x_{3}+s_{2}=4. \end{cases}
As variáveis que aparecem agora são \,x_{1},x_{2},x_{3},s_{1},s_{2}\,\]. Vou ordenar as colunas na mesma ordem \((x_{1},x_{2},x_{3},s_{1},s_{2}). A matriz dos coeficientes (colunas) é então:
O problema pede: determinar todas as possíveis bases B (i.e. pares de variáveis básicas, porque a matriz tem m=2 equações), e para cada base identificar x_{B}, a matriz não-básica N, as variáveis não-básicas x_{N}, e escrever a solução geral e a solução básica (obtida ao anular x_{N}).]
Passo 2
Rápida aula-prática sobre o que vamos usar (sem pânico, é só organizadinho):
Definição de base para este sistema: uma base B é um conjunto de m=2 colunas dentre \{c_{1},\dots,c_{5}\} tal que a matriz B (formada por essas 2 colunas) é invertível. As variáveis correspondentes a essas colunas são as variáveis básicas x_{B}. As restantes (3 variáveis) são as não-básicas x_{N} e formam a matriz N (2×3).
Fórmula da solução geral em notação matricial: escrevendo o sistema como
B x_{B} + N x_{N} = \mathbf{b},
temos
x_{B} = B^{-1}\mathbf{b} - B^{-1}N\,x_{N}.
A solução básica correspondente àquela base é obtida definindo todas as variáveis não-básicas como zero:
Vou aplicar isso repetidamente (é só uma conta de 2×2).
Agora vou enumerar todas as escolhas de 2 colunas (há \binom{5}{2}=10 escolhas) e, para cada uma, calcular B^{-1}, B^{-1}\mathbf{b}, B^{-1}N, escrever a solução geral e a solução básica. Em cada caso vou indicar claramente quais são x_{B} e x_{N}.