Determine um fator integrante apropriado para cada equação e resolva:
d) 2 x y d x+y^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar um fator integrante apropriado e resolver a equação diferencial
2 x y\,dx + y^{2}\,dy = 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação está na forma diferencial de uma 1-forma: M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com M(x,y)=2xy,\qquad N(x,y)=y^{2}.
  • O objetivo é encontrar um fator integrante (uma função que multiplica a equação e a torna exata) e então resolver a equação para obter a solução geral.

Passo 2

Verificar se a equação é exata inicialmente. Para isso calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=2x \neq 0=\frac{\partial N}{\partial x},
a equação NÃO é exata na forma dada. Precisamos então procurar um fator integrante.

Passo 3

Explicando a ideia do fator integrante (curtinha e prática): se existe uma função \mu tal que \mu(x,y)M\,dx+\mu(x,y)N\,dy seja exata, então vale
\frac{\partial}{\partial y}\big(\mu M\big)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\mu N\big).
Um caminho comum é tentar \mu que dependa só de x ou só de y. Há testes rápidos:
  • Se \dfrac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} for função apenas de x, então existe \mu(x)=\exp\!\left(\int \text{essa função}\,dx\right)çã.
  • Se \dfrac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} for função apenas de y, então existe \mu(y)=\exp\!\left(\int \text{essa função}\,dy\right)çã.
Vou aplicar estes testes.
Calculo
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{0-2x}{2xy}=\frac{-2x}{2xy}=-\frac{1}{y},
que depende somente de y. Portanto existe um fator integrante que é função só de y. Segundo a regra acima,
\mu(y)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{y}\,dy\right)=\exp\big(-\ln|y|\big)=\frac{1}{|y|}.
Para simplificar a escrita e a resolução podemos escolher \mu(y)=\dfrac{1}{y} (isto corresponde a assumir y\neq0 e absorver o sinal em constante de integração depois). Observação: o domínio natural da solução será com y\neq0.

Passo 4

Multiplico a equação original por \mu(y)=\dfrac{1}{y}. Obtém-se:
\frac{1}{y}\big(2xy\,dx + y^{2}\,dy\big)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x\,dx + y\,dy = 0.
Agora a forma é
\widetilde{M}(x,y)=2x,\qquad \widetilde{N}(x,y)=y.

Passo 5

Verifico a exatidão da equação multiplicada:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x)=0, \qquad \frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(y)=0,
portanto \frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=\frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x} e a equação é exata. Podemos resolver encontrando uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\Psi_x=\widetilde{M}=2x,\qquad \Psi_y=\widetilde{N}=y.

Passo 6

Integro \Psi_x=2x em relação a x:
\Psi(x,y)=\int 2x\,dx = x^{2} + h(y),
onde h(y) é função de y (constante de integração em relação a x). Agora uso \Psi_y= y:
\Psi_y = h'(y) = y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=y.
Integro em relação a y:
h(y)=\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + C_1.
Logo a função potencial é
\Psi(x,y)=x^{2}+\frac{y^{2}}{2} + C_1.
A solução implícita da equação exata é \Psi(x,y)= constante; absorvendo C_1 numa constante geral C, temos
x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=C.

Passo 7

Comentário prático rápido (modo “teste rápido” na prova): depois de notar que daria para dividir a equação original por y (quando y\neq0), chega-se direto a
2x\,dx + y\,dy =0,
e integrando ambos os lados obtém-se a mesma solução
x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=C.
Isso confirma a coerência do fator integrante encontrado \mu(y)=1/y.

Resposta

x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=C

Exercícios relacionados