Determine um fator integrante apropriado para cada equação e resolva:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar um fator integrante apropriado e resolver a equação diferencial
Informações relevantes fornecidas:
- A equação está na forma diferencial de uma 1-forma:
com - O objetivo é encontrar um fator integrante (uma função que multiplica a equação e a torna exata) e então resolver a equação para obter a solução geral.
Passo 2
Verificar se a equação é exata inicialmente. Para isso calculo as derivadas parciais:
Como
a equação NÃO é exata na forma dada. Precisamos então procurar um fator integrante.
Passo 3
Explicando a ideia do fator integrante (curtinha e prática): se existe uma função
tal que
seja exata, então vale
Um caminho comum é tentar
que dependa só de
ou só de
. Há testes rápidos:
- Se
for função apenas de , então existe . - Se
for função apenas de , então existe .
Vou aplicar estes testes.
Calculo
que depende somente de
. Portanto existe um fator integrante que é função só de
. Segundo a regra acima,
Para simplificar a escrita e a resolução podemos escolher
(isto corresponde a assumir
e absorver o sinal em constante de integração depois). Observação: o domínio natural da solução será com
.
Passo 4
Multiplico a equação original por
. Obtém-se:
Agora a forma é
Passo 5
Verifico a exatidão da equação multiplicada:
portanto
e a equação é exata. Podemos resolver encontrando uma função potencial
tal que
Passo 6
Integro
em relação a
:
onde
é função de
(constante de integração em relação a
). Agora uso
:
Integro em relação a
:
Logo a função potencial é
A solução implícita da equação exata é
constante; absorvendo
numa constante geral
, temos
Passo 7
Comentário prático rápido (modo “teste rápido” na prova): depois de notar que daria para dividir a equação original por
(quando
), chega-se direto a
e integrando ambos os lados obtém-se a mesma solução
Isso confirma a coerência do fator integrante encontrado
.