Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes e indique qual o critério de convergência utilizado.
\sum_{k=1}^{\infty} k e^{-k^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{\infty} k\,e^{-k^{2}}
é convergente ou divergente, e indicar o critério de convergência. O conteúdo envolvido é séries de termos positivos, e vamos usar o critério da razão para testar convergência absoluta (que aqui equivale a convergência simples, pois os termos são não-negativos).

Passo 2

Seja a_{k}=k\,e^{-k^{2}}. O critério da razão diz que, se
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_{k}}
existe e L<1, então a série \sum a_{k} converge absolutamente.

Passo 3

Calculamos
\frac{a_{k+1}}{a_{k}} =\frac{(k+1)\,e^{-(k+1)^{2}}}{k\,e^{-k^{2}}} =\frac{k+1}{k}\;e^{-\bigl((k+1)^{2}-k^{2}\bigr)} =\Bigl(1+\frac1{k}\Bigr)\,e^{-(2k+1)}.
Como \lim_{k\to\infty}(1+1/k)=1 e \lim_{k\to\infty}e^{-(2k+1)}=0, segue que
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_{k}}=1\cdot0=0<1.

Passo 4

Pelo critério da razão, L<1 implica que a série \sum_{k=1}^{\infty}k\,e^{-k^{2}} converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge, por critério da razão (razão limite L=0<1).

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