Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes e indique qual o critério de convergência utilizado.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k} k!}{k^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}\,k!}{k^{k}}
Esse tipo de série, em que aparecem fatoriais e potências de k, é clássico para aplicar o critério da razão (ou de d’Alembert).

Passo 2

Seja
a_{k} = \frac{2^{k}\,k!}{k^{k}}.
Vamos calcular a razão
\frac{a_{k+1}}{a_{k}} =\frac{2^{k+1}\,(k+1)!/(k+1)^{\,k+1}}{2^{k}\,k!/k^{k}} =2\;\frac{(k+1)!\,k^{k}}{k!\,(k+1)^{\,k+1}} =2\;\frac{(k+1)\,k^{k}}{(k+1)^{\,k+1}} =2\;\Bigl(\frac{k}{k+1}\Bigr)^{\!k}.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando k\to\infty:
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_{k}} =2\;\lim_{k\to\infty}\Bigl(\frac{k}{k+1}\Bigr)^{\!k} =2\;e^{-1} =\frac{2}{e}.
Como \frac{2}{e}<1, o critério da razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 4

Concluímos, portanto, que a série é convergente.

Resposta

A série \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k}\,k!}{k^{k}} é convergente pelo critério da razão de d’Alembert (limite da razão igual a 2/e<1).

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