Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes e indique qual o critério de convergência utilizado.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(k a)}{k!}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(k a)}{k!}
é convergente ou divergente, e qual critério de convergência é usado. O conteúdo envolvido é séries numéricas, em particular a noção de convergência absoluta e os testes de comparação e razão.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_k = \frac{\operatorname{sen}(k a)}{k!}.
Para investigar convergência absoluta, consideramos
|a_k| = \biggl|\frac{\operatorname{sen}(k a)}{k!}\biggr|.

Passo 3

Como \bigl|\operatorname{sen}(k a)\bigr|\le1 para todo k, temos
|a_k| \le \frac{1}{k!}.
Sabemos que a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}
é convergente (é a série da função e^x em x=1), e isso pode ser justificado, por exemplo, pelo teste da razão:
\lim_{k\to\infty}\frac{1/(k+1)!}{1/k!} =\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k+1}=0<1.

Passo 4

Pelo critério da comparação (ou por já termos verificado pelo teste da razão que \sum1/k! converge), segue que
\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|
é convergente. Logo a série original converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(k a)}{k!}
é convergente. O critério usado foi
  • comparação com \sum1/k! (ou, de forma equivalente, o teste da razão), garantindo convergência absoluta.

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