Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em a e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{3^{n} \sqrt{n+1}}

Passo 1

Temos a série de potências centrada em a=2
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{3^{n}\sqrt{n+1}}.
O conteúdo é power-series/Taylor em torno de x=2. Vamos ( 1) achar o raio de convergência, ( 2) reconhecer a função geradora e ( 3) verificar que ela coincide com sua série de Taylor no disco de convergência.

Passo 2

Calculemos o raio de convergência R pelo teste da raiz. Denotando
c_n=\frac{1}{3^{n}\sqrt{n+1}},
temos
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3\,(n+1)^{1/(2n)}} =\frac{1}{3}.
Logo o raio é
R=\frac{1}{\tfrac{1}{3}}=3,
isto é, a série converge para |x-2|<3 e diverge para |x-2|>3.

Passo 3

Definimos pela soma da série a função
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-2)^{n}}{3^{n}\sqrt{n+1}}, \qquad |x-2|<3.
Por teoria de séries de potências, f é analítica em |x-2|<3 e coincide com sua expansão de Taylor nesse disco.

Passo 4

Podemos identificar f como uma função hipergeométrica padrão. Observe que
\frac{1}{\sqrt{n+1}} =\frac{n!}{(3/2)_n},
onde (3/2)_n é o símbolo de Pochhammer. Então
\frac{1}{3^{n}\sqrt{n+1}} =\frac{n!}{(3/2)_n}\,\Bigl(\frac{x-2}{3}\Bigr)^n =\frac{(1)_n\,(1)_n}{(3/2)_n\,n!}\,\Bigl(\frac{x-2}{3}\Bigr)^n.
Daí reconhecemos
f(x) =\sum_{n=0}^\infty\frac{(1)_n\,(1)_n}{(3/2)_n\,n!} \Bigl(\frac{x-2}{3}\Bigr)^n ={}_2F_{1}\bigl(1,1;3/2;\,(x-2)/3\bigr).

Passo 5

Como {}_2F_1 é analítica para \bigl|(x-2)/3\bigr|<1 (isto é, |x-2|<3), concluímos que
1. A série dada é exatamente a série de Taylor de
f(x)={}_2F_{1}\bigl(1,1;3/2;\,(x-2)/3\bigr)
em torno de x=2.
2. Para |x-2|<3, f(x) coincide com sua série de Taylor.

Resposta

A série converge para |x-2|<3, define a função
f(x)={}_2F_{1}\bigl(1,1;3/2;\,(x-2)/3\bigr),
e f(x) é igual à sua série de Taylor nesse intervalo de convergência.

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