- Seja
definida no intervalo
e com valores em
. Suponha que
para todo
. Prove que existe uma constante
tal que
para todo
em
.
- Calcule a derivada das funções vetoriais a seguir:
(a)
(c)
(a)
(c)
Passo 1
O exercício 5 pede para mostrar que uma função vetorial
com derivada zero em todo
é constante. O exercício 6 requer calcular derivadas de duas funções vetoriais dadas, aplicando regra do produto, cadeia e derivadas usuais de funções elementares.
Passo 2
Escrevemos
Como
, temos
Pela teoria de funções reais, cada função
com derivada nula em todo intervalo é constante. Logo existem
tais que
. Assim
isto é,
é a função constante igual a
.
Passo 3
Para
aplicamos derivada coordenada a coordenada e, quando necessário, a regra do produto:
Portanto,
Passo 4
Para
derivamos cada componente:
Assim,
Resposta
-
para todo .
6(a).
6(c).