1. Seja F definida no intervalo I e com valores em \mathbb{R}^{n}. Suponha que F^{\prime}(t)=\overrightarrow{0} para todo t \in I. Prove que existe uma constante k=\left(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} tal que F(t)=k para todo t em I.
  2. Calcule a derivada das funções vetoriais a seguir:
    (a) r(t)=\left(t \sin t, t^{2}, t \cos 2 t\right)
    (c) F(t)=\left(\arctan \left(t^{2}+1\right), 2 t \ln \left(t^{2}\right), 3 t\right)

Passo 1

O exercício 5 pede para mostrar que uma função vetorial F\colon I\to\mathbb{R}^n com derivada zero em todo I é constante. O exercício 6 requer calcular derivadas de duas funções vetoriais dadas, aplicando regra do produto, cadeia e derivadas usuais de funções elementares.

Passo 2

Escrevemos
F(t) = \bigl(F_{1}(t),F_{2}(t),\dots,F_{n}(t)\bigr).
Como F'(t)=\overrightarrow{0}, temos
F'(t)=\bigl(F_{1}'(t),F_{2}'(t),\dots,F_{n}'(t)\bigr)=\overrightarrow{0} \quad\Longrightarrow\quad F_{i}'(t)=0 \quad\forall i=1,\dots,n.
Pela teoria de funções reais, cada função F_{i} com derivada nula em todo intervalo é constante. Logo existem k_{i}\in\mathbb{R} tais que F_{i}(t)=k_{i}. Assim
F(t) = (k_{1},k_{2},\dots,k_{n}) = k,
isto é, F é a função constante igual a k.

Passo 3

Para r(t)=(t\sin t,\;t^{2},\;t\cos2t) aplicamos derivada coordenada a coordenada e, quando necessário, a regra do produto:
\frac{d}{dt}\bigl(t\sin t\bigr) = 1\cdot\sin t + t\cdot\cos t = \sin t + t\cos t,
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=2t,
\frac{d}{dt}\bigl(t\cos2t\bigr) = 1\cdot\cos2t + t\cdot(-\sin2t)\cdot2 = \cos2t - 2t\sin2t.
Portanto,
r'(t) = \bigl(\sin t + t\cos t,\;2t,\;\cos2t - 2t\sin2t\bigr).

Passo 4

Para F(t)=\bigl(\arctan(t^{2}+1),\;2t\ln(t^{2}),\;3t\bigr) derivamos cada componente:
\frac{d}{dt}\bigl[\arctan(t^{2}+1)\bigr] = \frac{1}{1+(t^{2}+1)^{2}}\cdot 2t = \frac{2t}{1+(t^{2}+1)^{2}},
\frac{d}{dt}\bigl[2t\ln(t^{2})\bigr] = 2\ln(t^{2}) + 2t\cdot\frac{1}{t^{2}}\cdot2t = 2\ln(t^{2}) + 4,
\frac{d}{dt}(3t)=3.
Assim,
F'(t) = \Bigl(\tfrac{2t}{1+(t^{2}+1)^{2}},\;2\ln(t^{2}) + 4,\;3\Bigr).

Resposta

  1. F(t)=k=(k_{1},k_{2},\dots,k_{n}) para todo t\in I.
    6(a) r'(t) = (\sin t + t\cos t,\;2t,\;\cos2t - 2t\sin2t).
    6(c) F'(t) = \bigl(\tfrac{2t}{1+(t^{2}+1)^{2}},\;2\ln(t^{2})+4,\;3\bigr).

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