Determine os símbolos de Christoffel
e
para as coordenadas coordenadas cilíndricas elípticas equações
constante
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação das coordenadas cilíndricas elípticas:
com
.
Pede-se determinar os símbolos de Christoffel e
, onde o índice
refere-se à coordenada
e o índice
refere-se à coordenada
.
Pede-se determinar os símbolos de Christoffel
Informações relevantes dadas:
- A função posição é
. - A constante
é parâmetro escalar. - Os símbolos de Christoffel a encontrar são
e .
Passo 2
Calcular as derivadas parciais da posição em relação a
e
(vetores base da coordenada):
Esses vetores vão permitir calcular os coeficientes métricos
.
Passo 3
Calcular os coeficientes métricos (produtos internos). Primeiro
:
Agora
:
Note que as expressões são iguais; podemos simplificar. Usando
,
Logo
O termo misto:
pois as duas expressões se cancelam (produto escalar dá termos opostos). Finalmente
Portanto a métrica é diagonal com
Passo 4
Escrever a métrica inversa (por ser diagonal é simples):
Passo 5
Lembrar a fórmula dos símbolos de Christoffel:
Para
(com
) e métrica diagonal, só o termo
contribui, portanto:
Para
(com
), os termos com
são zero, restando
Como
, isso simplifica para
Passo 6
Calcular
. Como
,
Substituindo em
e
:
Observação: o fator
cancela; as expressões dependem apenas de
e
via
.