Determine os símbolos de Christoffel \Gamma_{11}^{1} e \Gamma_{22}^{1} para as coordenadas coordenadas cilíndricas elípticas equações
x=a \operatorname{cosh} u \cos v, \quad y=a \operatorname{sinh} u \operatorname{sen} v, \quad z=z
(u \geqslant 0,0 \leqslant v<2 \pi, a>0 constante ).

Passo 1

O enunciado dá a transformação das coordenadas cilíndricas elípticas:
x = a\operatorname{cosh} u\cos v,\qquad y = a\operatorname{sinh} u\sin v,\qquad z=z,
com (u\ge 0,\\\ 0\le v<2\pi,\\ a>0).
Pede-se determinar os símbolos de Christoffel \Gamma_{11}^{1} e \Gamma_{22}^{1}, onde o índice 1 refere-se à coordenada u e o índice 2 refere-se à coordenada v.
Informações relevantes dadas:
  • A função posição é \mathbf{r}(u,v,z) = \big(a\operatorname{cosh} u\cos v,\; a\operatorname{sinh} u\sin v,\; z\big).
  • A constante a>0 é parâmetro escalar.
  • Os símbolos de Christoffel a encontrar são \Gamma_{11}^{1} e \Gamma_{22}^{1}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais da posição em relação a u e v (vetores base da coordenada):
\mathbf{r}_u=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}=\big(a\operatorname{sinh} u\cos v,\; a\operatorname{cosh} u\sin v,\;0\big),
\mathbf{r}_v=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}=\big(-a\operatorname{cosh} u\sin v,\; a\operatorname{sinh} u\cos v,\;0\big),
\mathbf{r}_z=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}=(0,0,1).
Esses vetores vão permitir calcular os coeficientes métricos g_{ij}=\mathbf{r}_i\cdot\mathbf{r}_j.

Passo 3

Calcular os coeficientes métricos (produtos internos). Primeiro g_{11}:
g_{11}=\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_u = a^2\big(\operatorname{sinh}^2 u\cos^2 v+\operatorname{cosh}^2 u\sin^2 v\big).
Agora g_{22}:
g_{22}=\mathbf{r}_v\cdot\mathbf{r}_v = a^2\big(\operatorname{cosh}^2 u\sin^2 v+\operatorname{sinh}^2 u\cos^2 v\big).
Note que as expressões são iguais; podemos simplificar. Usando \operatorname{cosh}^2 u-\operatorname{sinh}^2 u=1,
\begin{aligned} \operatorname{sinh}^2 u\cos^2 v+\operatorname{cosh}^2 u\sin^2 v &= \operatorname{sinh}^2 u(\cos^2 v+\sin^2 v)+\sin^2 v(\operatorname{cosh}^2 u-\operatorname{sinh}^2 u)\\\ &= \operatorname{sinh}^2 u+\sin^2 v. \end{aligned}
Logo
g_{11}=g_{22}=a^2\big(\operatorname{sinh}^2 u+\sin^2 v\big).
O termo misto:
g_{12}=\mathbf{r}_u\cdot\mathbf{r}_v=0,
pois as duas expressões se cancelam (produto escalar dá termos opostos). Finalmente
g_{33}= \mathbf{r}_z\cdot\mathbf{r}_z = 1.
Portanto a métrica é diagonal com
g_{11}=g_{22}=h^2,\qquad h^2:=a^2\big(\operatorname{sinh}^2 u+\sin^2 v\big), \qquad g_{33}=1.

Passo 4

Escrever a métrica inversa (por ser diagonal é simples):
g^{11}=g^{22}=\frac{1}{h^2},\qquad g^{33}=1.

Passo 5

Lembrar a fórmula dos símbolos de Christoffel:
\Gamma^{i}_{jk}=\tfrac{1}{2}\,g^{im}\big(\partial_j g_{mk}+\partial_k g_{mj}-\partial_m g_{jk}\big).
Para \Gamma^{1}_{11} (com i=j=k=1) e métrica diagonal, só o termo m=1 contribui, portanto:
\Gamma^{1}_{11}=\tfrac{1}{2}g^{11}\partial_1 g_{11}.
Para \Gamma^{1}_{22} (com i=1,j=k=2), os termos com g_{21} são zero, restando
\Gamma^{1}_{22}=-\tfrac{1}{2}g^{11}\partial_1 g_{22}.
Como g_{11}=g_{22}=h^2, isso simplifica para
\Gamma^{1}_{11}=\tfrac{1}{2}\frac{\partial_u h^2}{h^2}=\partial_u(\ln h), \qquad \Gamma^{1}_{22}=-\tfrac{1}{2}\frac{\partial_u h^2}{h^2}=-\partial_u(\ln h).

Passo 6

Calcular \partial_u h^2. Como h^2=a^2(\operatorname{sinh}^2 u+\sin^2 v),
\partial_u h^2 = a^2\cdot 2\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u = 2a^2\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u.
Substituindo em \Gamma^{1}_{11} e \Gamma^{1}_{22}:
\Gamma^{1}_{11}=\tfrac{1}{2}\frac{2a^2\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u}{a^2(\operatorname{sinh}^2 u+\sin^2 v)} =\frac{\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u}{\operatorname{sinh}^2 u+\sin^2 v},
\Gamma^{1}_{22}=-\frac{\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u}{\operatorname{sinh}^2 u+\sin^2 v}.
Observação: o fator a cancela; as expressões dependem apenas de u e v via \operatorname{sinh}^2 u+\sin^2 v.

Resposta

\Gamma_{11}^{1}=\dfrac{\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u}{\operatorname{sinh}^{2}u+\sin^{2}v}
\Gamma_{22}^{1}=-\dfrac{\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u}{\operatorname{sinh}^{2}u+\sin^{2}v}

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